Особенности обобщения на математическом материале

Глава 2. Особенности обобщения на математическом материале

Математические понятия, способы могут формироваться различными типами обобщения. В этой главе анализируются основные подходы к определению понятия обобщения, приводятся существующие классификации видов обобщения, конкретизируется типологизация обобщений В.В. Давыдова на материале математики.

§2.1. О видах обобщений

2.1.1. Понятие обобщения

Понятие обобщения рассматривается в двух аспектах: во-первых, как способность человека (традиционная психология), во-вторых, как метод познания.

В нашей работе мы будем придерживаться логического подхода к понятию обобщения, то есть мы будем рассматривать обобщение как некоторое средство научного познания, как способ образования понятий.

Стоит отметить важность изучения процесса обобщения. В своей статье  Ф.В. Лазарев и М.М. Новосёлов [14] отмечают, что именно через обобщение определяется исторический процесс развития знания:

 Исторически процесс развития понятий и теорий выражается в приращении знания посредством цепей обобщений. Примером может служить последовательное обобщение понятия числа путём построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Для этой цепи характерны такие расширения исходной области, которые удовлетворяют принципу постоянства формальных законов, согласно которому законы операций, определяемых для элементов исходной области, при всех последующих её расширениях должны сохраняться и для новых элементов.

2.1.2. Классификации обобщений

Рассмотрим различные подходы, в рамках которых обобщение рассматривается как метод познания.

 Нужно отметить, что в связи с существованием отношения «общее - частное», можно рассматривать две стороны процесса обобщения (схема 1):

Ø обобщение как переход от частного к общему;

Ø подведение частных случаев под общее понятие.

 

схема 1

Процесс «частное - общее» направлен на формирование новых знаний, на построение научных понятий. Обратное действие лежит в основе процессов использования известных знаний для решения аналогичных задач.

В традиционной логике обобщение рассматривается как логический прием образования понятий. При этом понятие как форма мышления отражает предметы и их совокупности в абстрактной, обобщенной форме на основании их существенных признаков.

“Обобщение – прием, с помощью которого отдельные предметы на основе присущих им одинаковых свойств объединяются в группы однородных предметов ” [5].

Таким образом, обобщение позволяет рассматривать существенные признаки, выявленные у отдельных предметов, как признаки всех предметов, к которым применимо данное понятие.

Переход от знания об отдельных явлениях к знанию общему совершается в форме индуктивного умозаключения, или индукции.

“Индуктивным называется умозаключение, в котором на основании принадлежности признака отдельным предметам или частям некоторого класса делают вывод о его принадлежности классу в целом” [12].

Схема индуктивного умозаключения имеет следующий вид:

S1 имеет признак p

S2 имеет признак p

…………………….

Всем предметам класса К присущ признак p

Таким образом, традиционная логика рассматривает обобщение как переход от частных случаев к общему (схема 1). Результатом обобщения является индуктивное умозаключение, истинность которого зависит от количества посылок и замкнутости рассматриваемого класса. Особенностью традиционной логики является то, что она не рассматривает вывод общего признака на основе существенного анализа одного частного явления. Таким образом традиционная логика не выделяет различные типы обобщений.