Особенности обобщения на математическом материале, страница 9

(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85)

Можно заметить следующую закономерность: первое число нечетное, а второе и третье числа почти во всех строках отличаются на 1.

Можно заметить, что для всех перечисленных троек справедливо равенство .

Итак,  и , а значит .

Число  нечетное, то есть , где k – произвольное натуральное число.

Получается, что  выполняется если

                                  , .                         (2)

b) Полученные формулы (2) носят частный характер, так как определяют только те тройки, в которых первое число нечетное. Значит, в этих формулах существует некоторое ограничение, избавившись от которого мы сможем найти обобщение. Для того чтобы найти это дополнительное соотношение внутри формул, выделим в них одинаковые элементы, используя формулу квадрата суммы.

Видно, что выражение для  можно разложить на множители: .

Числа  также можно выразить через  и  при помощи формулы квадрата суммы: .                                     

Таким образом,                                   (3)

Видно, что выражения для чисел  можно выразить в виде комбинации двух последовательных чисел. Заметим, что при подстановке в основную формулу последовательность этих чисел становится необязательной. Значит, для обобщения необходимо снять это ограничение.

Теперь можно без труда получить формулы, обобщающие формулы (3), а следовательно и формулы (2):

                          , где .

Таким образом, мы получили общий вид чисел Пифагоровой тройки (1).

Анализ способов обобщения первого способа рассуждения

В ходе рассуждения можно выделить два типа обобщения.

Этап a) характеризуется сравнением нескольких частных случаев и выделением общей закономерности. С этим типом обобщения мы уже сталкивались при решении первой задачи. Это обобщение через сравнение свойств объектов.

Ко второму типу обобщения можно отнести обобщение как избавление от дополнительных соотношений внутри объекта. Причем нужно отметить, что на этапе b) каждый ход обоснован и доказателен, а обобщение в целом не раскрывает внутренней природы объекта. Этот тип обобщения характеризуется тем, что в ходе рассуждения не выделяется общий способ действия, этот способ обобщение применим только для данной конкретной ситуации.

Заметим, что для обобщения на этапе b) используется формула сокращенного умножения (формула квадрата суммы). То есть в ходе рассуждения формула используется как средство для решения других задач (причем решения не аналогичных задач, а задач совершенно другого типа).

Таким образом, в ходе рассуждения можно выделить следующие типы обобщения:

Ø обобщение через сравнение свойств;

Ø обобщение через снятие ограничений.

Второй способ построения рассуждения

Известно, что пифагорова тройка – это тройка чисел, удовлетворяющих равенству .