Особенности обобщения на математическом материале, страница 7

b) Попытаемся вывести общий признак делимости путем анализа частных случаев. Для этого придумаем несколько трехзначных чисел кратных 11:

110, 132, 143, 154, 176, 209, 297, 341, 561, 891, 957, 990

Каким образом мы получили эти числа? Воспользуемся определением кратности числа: число кратно 11, если это число содержит 11 множителей. Числа кратные 11 мы можем найти следующим образом: m=11×n, n=10,11,…,90.

11×10=110, 11×11=121, 11×12=132, 11×13=143, …, 11×90=990

Рассмотрим полученные числа (110, 132, 143, 154, 176, 209, 297, 341, 561, 891, 957, 990). Здесь можно увидеть следующую закономерность: сумма первой и последней цифры числа минус вторая цифра числа равно либо 0, либо 11. В общем случае можно сказать, что  кратно 11.

На основании этого можно считать верным следующее обобщение: «Число  делится на 11, если  делится на 11».

Заметим, что это утверждение можно доказать методом математической индукции.   

c) Далее, считая верным признак делимости на 11 для трехзначных чисел, можно предположить несколько вариантов признака делимости на 11 для четырехзначных чисел «Число  делится на 11, если:

Ø  делится на 11»;

Ø  делится на 11»;

Ø  делится на 11».

Конечно, это только некоторые возможные варианты признака делимости на 11 для четырехзначных чисел.

Проверим, какое из этих утверждений является правдоподобным. Рассмотрим произвольное четырехзначное число, кратное 11. Например, 1309. Можно легко убедиться, что для него верным является последнее утверждение.

 Сделаем вывод, что признаком делимости на 11 для четырехзначных чисел является утверждение «Число  делится на 11, если  делится на 11».

d) Признак делимости на 11 для трехзначных чисел: «Число  делится на 11, если  делится на 11». Признаком делимости на 11 для четырехзначных чисел: «Число  делится на 11, если  делится на 11». Сформулируем аналогичным образом известный нам признак делимости для двухзначных чисел: «Число  делится на 11, если  делится на 11».

Сравнивая формы записи признаков делимости для двух- трех- и четырехзначных чисел, можно заметить, что делимость числа на 11 сводится к делимости комбинации цифр этого числа, представляющей собой разность двух сумм: суммы цифр, стоящих на четных позициях и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях. Таким образом, можно обобщить признак делимости на 11 для любого числа: «число  делится на 11, если  делится на 11».

Анализ первого способа рассуждения

В ходе представленного рассуждения можно выделить два разных типа обобщения.

На этапах а) и с) обобщение осуществляется путем формального переноса формы признака делимости. Статус полученных результатов в этих случаях остается неизвестным, то есть неизвестно, правдоподобные утверждения получены в результате или нет. Возникает необходимость выявления правдоподобности полученных утверждений.

На этапах b) и d) осуществляется сравнение нескольких объектов, выявление свойственной им закономерности. Таким образом, полученные утверждения правдоподобны, но возникает необходимость в их обосновании, доказательстве. То есть результат обобщения носит гипотетический характер.