Особенности обобщения на математическом материале, страница 5

Указанную методику В.А. Крутецкий использовал для оценки способности применять полученное знание как средство при решении типичных, аналогичных заданий.

Числовые характеристики (показатели уровня способности к обобщению) в данном случае связаны с количеством необходимых промежуточных звеньев (числом «шагов») при переходе от первой к последней задаче и величиной последнего «шага» при переходе к последней задаче.

Схожую структуру имеет серия систем текстовых задач с постепенной трансформацией из конкретного в абстрактный план, направленная также на изучение способности к обобщению как подведению частных случаев под общее понятие. Эта серия представлена единственным тестом, каждая следующая задача которого является некоторым обобщением предыдущей. Порядок предъявления заданий и принцип оценивания способности к обобщению по результатам проведения теста являются такими же как и для «системы однотипных задач».

Для исследования способности к формированию понятий путем обобщений В.А. Крутецкий предлагает использовать серию «эвристические задания». Задания этой серии рассчитаны на исследование того, как учащиеся эвристически открывают неизвестные им закономерности, самостоятельно устанавливают отношения и функциональные зависимости.

Ученикам ставится соответствующее задание-установка (например, вывести правило сокращенного вычисления квадрата двухзначных чисел, оканчивающихся цифрой 5) и предъявляются примеры (например,  и т. д.). Производя соответствующие вычисления, учащиеся должны обнаружить необходимую закономерность и оформить её в общее правило.

Числовые характеристики оценивания способности к обобщению в этом случае связаны с количеством примеров, необходимых для обнаружения закономерности.

В процессе исследования В. А. Крутецкий наблюдал непосредственно процесс решения школьниками предложенных математических задач. Все действия, высказывания учащихся фиксировались в протоколах. Анализируя процесс рассуждения школьника можно предположить, каким способом происходило обобщение математического материала.

Некоторые способные ученики, не испытывая затруднений, правильно решают предложенную самую сложную задачу без решения дополнительных звеньев, демонстрируя таким образом способности к теоретическому обобщению.

А некоторым менее способным ученикам для того, чтобы правильно решить последнюю задачу из цепочки потребовалось решить все дополнительные звенья, что указывает на их склонность к эмпирическому обобщению.

Итак, анализируя протоколы исследования В.А. Крутецкого [13], можно заметить, что обобщения, которые осуществляют испытуемые качественно отличаются: некоторые испытуемые обобщают «сходу», а некоторым требуется сравнить несколько частных случаев (причем количество частных случаев колеблется от 1 до 7). В том случае, когда испытуемый обобщает способ без анализа частных случаев, В.А. Крутецкий отмечает способность этого испытуемого к теоретическому обобщению. В том случае, когда испытуемому требуется несколько частных случаев для обобщения способа, В.А. Крутецкий отмечает способность к эмпирическому обобщению и вводит количественную характеристику способности – количество частных случаев. Мы предположили, что количество промежуточных шагов, необходимых для обобщения, характеризует качество эмпирического обобщения. Показателем качества эмпирического обобщения в этом случае является количество частных случаев необходимых для обобщения способа.   

Анализируя представленные В.А. Крутецким протоколы можно предположить, что есть связь между тем, каким образом формируется  то или иное понятие и тем, насколько эффективно это знание используется в дальнейшем как средство при решении аналогичных задач.

Возможно, способ, полученный в ходе содержательно-эмпирического обобщения, также в дальнейшем может функционализироваться. Можно предположить, что, начиная с какого-то количества частных случаев, функционализация способа становится невозможной. Это количество назовем критическим значением показателя качества обобщения.