Особенности обобщения на математическом материале, страница 3

Теоретическое понятие - это средство мысленного воспроизведения какого-либо предмета как целостной системы. Иметь понятие о таком предмете - значит владеть общим способом мыслен­ного построения этого предмета. Способ, с которым связано понятие,— это особое мыслительное действие человека, которое само возникает как дериват предметно-познавательно­го действия, воспроизводящего предмет своего познания.

Иными словами, за каждым понятием скрыто особое действие (или система таких действий), без выявления которого нельзя раскрыть механизмы возникновения и функционирования данного понятия.

В.В. Давыдов постулирует, что знания, сформировавшиеся путем теоретического обобщения (то есть теоретические понятия), в дальнейшем могут использоваться как средство для решения аналогичных задач.

Два типа обобщения, выделенные В.В. Давыдовым, отличаются характером конечного результата: результатом эмпирического обобщения является гипотетическое знание, а результатом теоретического обобщения – истинное знание об объекте.  

Стоит отметить, что В.В. Давыдов рассматривает только одну сторону процесса обобщения – восхождение от частного к общему (схема 1).

Другим видным ученым, исследовавшим понятие обобщения, является В.А. Крутецкий. Он изучал процесс обобщения в рамках своего исследования, задачей которого являлось изучение математических способностей школьников.

В. А. Крутецкий [13] определяет обобщение как  вычленение главного, выявление общего во внешне различном.

В. А. Крутецкий рассматривал два процесса обобщения математического материала (схема 1):

1.  подведение объектов под уже известное  общее понятие;

Для исследования процесса обобщения как подведения объектов под общее понятие используются системы однотипных задач (описание методики смотрите ниже). Учащиеся вместе с экспериментатором знакомятся с общей формулой сокращенного умножения. Далее им предлагается система задач, некоторые из которых решаются с помощью изученной формулы. Исследуется процесс переноса сложившегося способа действия в сходные условия, способность дифференцировать внешне сходный материал по существенному признаку. Изучается способность выделения существенного, главного с точки зрения типа задач, способность отвлечения от несущественного.

2.  выведение общего из частных случаев, образование понятия.

Используются эвристические задания, в результате выполнения которых ученики овладевают новым для них понятием. Исследуется способность самостоятельно устанавливать отношения и зависимости, производить самостоятельные обобщения.

В протоколах исследования можно заметить, что ученики применяют обобщения различного типа для решения предложенной задачи, но В. А. Крутецкий не выделяет и не классифицирует различные способы обобщения. Приведем примеры различных типов обобщения и попробуем соотнести их с классификацией В. В. Давыдова:

1.  Учащимся предлагается вывести правило сокращенного вычисления квадрата двухзначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. Приводим отрывок из протокола (Я. Л. 6 кл.): «А зачем сравнивать числа – я лучше по-другому сделаю. Все эти числа составлены так: 25, 35, 45 – это . . Будет так: первую цифру в квадрате и приписать два нуля, потом первую цифру просто и приписать два нуля и потом 25. Все сложить. Просто и быстро: ». Ученик выводит общее правило на основе анализа общего устройства таких чисел. Можно сказать, что обобщение в этом случае носит теоретический характер (по классификации В. В. Давыдова), так как в процессе обобщения выделяется существенное, и как результат обобщения появляется общий способ возведения чисел в квадрат.

2.  Неспособные ученики при попытке решения вышеизложенной задачи не смогли вывести общий способ возведения чисел 25, 35, 45 и т. д. в квадрат. Единственное, что они смогли сделать – это возвести эти числа в квадрат и заметить, что квадраты таких чисел всегда заканчиваются на 25. О каком типе обобщения идет речь? Можно сказать, что по классификации В. В. Давыдова ученики демонстрируют формальное обобщение. Во-первых, полученное знание неполное, выведенное на основе обобщения формального признака (запись числа), во-вторых, ученики не смогли доказать полученное знание, они смогли его только увидеть, что говорит об отсутствии общего способа действия.