Особенности обобщения на математическом материале, страница 11

Аналогичным образом найдем формулу квадрата суммы четырех слагаемых .

Можно заметить закономерность: формула представляет собой сумму квадратов всех переменных и всех возможных удвоенных произведений двух разных переменных.

Таким образом,  формула в общем случае имеет вид:

 

Анализ способа обобщения

В ходе обобщения сравниваются несколько частных случаев. Основу анализа составляет выделение существенной закономерности. Следовательно, данный способ обобщения можно определить как обобщение через сравнение свойств.

Второй способ построения рассуждения

 Известно, что . Используем это знание для нахождения формулы квадрата суммы трех переменных:

Рассуждая аналогичным образом, мы можем найти общую формулу квадрата суммы:

Анализ способа обобщения

В вышеизложенном рассуждении нельзя выделить в чистом виде какой-то определенный тип обобщения. Обобщение в этом случае носит комбинированный характер: в рассуждении присутствует и выделение некоторой закономерности, и выделяется некоторый общий принцип (принцип сведения квадрата суммы нескольких членов к квадрату суммы двух слагаемых).

Заметим, что в этом рассуждении формула квадрата суммы двух чисел используется как общая формула. То есть в этом способе рассуждения демонстрируется возможность применения этой формулы как средства для решения аналогичных задач.

Третий способ построения рассуждения

Рассмотрим общий случай .

Результатом умножения скобки саму на себя будут являться квадраты всех переменных и произведения переменных на сумму остальных переменных, то есть и т. д. Ясно, что все произведения будут встречаться дважды (например, при раскрытии скобки  появится произведение , и это же произведение появится при раскрытии скобки ). То есть все возможные произведения двух разных переменных будут являться удвоенными.

Таким образом, в общем случае формула квадрата суммы будет иметь следующий вид:

.

Анализ способа обобщения

В рассуждении анализируется сразу общий случай. Выявляется общий способ выведения формулы, выделяется общий принцип получения слагаемых в формуле. Таким образом, этот способ обобщения можно определить как обобщение через выявление общей структуры объекта.

Задача «Часы»

«За 6 минут часы делают 6 ударов. За сколько минут часы сделают 12 ударов?»

Возможное решение задачи.

Известно, что часы совершают  ударов за 6 секунд. Будем считать, что удары мгновенные. Тогда длина промежутка между ударами равна 6/5=1,2 с. Значит, 12 ударов часы пробьют за 6+6+1,2=13,2 с.

Но нужно учесть, что к этому решению мы пришли, приняв длину удара за 0 с. Тогда длина промежутка являлась постоянной и была равна 1,2 с. То есть мы наложили на условия задачи некоторые ограничения.

Для более полного решения задачи, снимем эти ограничения. То есть примем x за длину промежутка между ударами. Тогда ответом на вопрос задачи будет 6+6+x=12+x с.

Но можно заметить, что при решении этой задачи мы считали, что длина удара не меняется, а является постоянной. Это тоже ограничение, накладываемое на условие задачи. Таким образом, отказываясь от этого ограничения, мы можем найти еще более обобщенное решение задачи.