Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла

I. Определение определенного интеграла

Часто на практике нужно вычислить:

1) площади фигур, ограниченных кривыми;

2) длины дуг различных кривых;

3) объемы тел, образованных вращением плоских                         геометрические                                                                                                          

фигур вокруг осей координат;                                                              приложение

4) площади поверхностей, образованных вращением

дуги кривой вокруг осей координат.

5) в физике по функции скорости определить путь,

пройденный точкой;

6) вычислить работу силы, под воздействием которой

перемещается точка вдоль осей координат;                                     физические

7) вычислить статические моменты и центр тяжести                      приложение

плоской фигуры;

8) найти количество электричества, протекшего

через поперечное сечение проводника за промежуток

времени и т.д.

Решаются подобные задачи с помощью определенного интеграла.

Пусть функция   определена на отрезке  ,  .

                                                                              

                                                                 

                                                                 

                                            Рисунок 1

Выполним следующие действия:

1. Разобьем отрезок на  -частичных отрезков: , , , …, .

2. В каждом частичном отрезке  , где    выберем произвольную точку   и  вычислим значение функции в ней: .

3. Умножим     на  длину      соответствующего  частичного

отрезка:  ;

4. Составим сумму всех таких произведений   (интегральную сумму функции    на отрезке  ), т.е.

        .

5. Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка, т.е. .

Найдем  . Если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка   на частичные отрезки, ни от выбора точек на них, то он называется определенным интегралом.

Определение. Число  называется определенным интегралом от функции   на отрезке   и обозначается:

                             ,

 (т. е.  предел интегральной суммы функции   на отрезке   при условии, что число частичных отрезков    неограниченно увеличивается, а длина наибольшего из них стремится к нулю).

Здесь:    - нижний предел интегрирования;  - верхний предел интегрирования;   - подынтегральная функция;   - переменная интегрирования;              - область (отрезок) интегрирования.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла:

Теорема (Коши). Если функция    непрерывна на отрезке , то определенный интеграл    существует.

Кроме этого, сформулируем несколько свойств.

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной:

                              ,

т.е. он не зависит от того, какой буквой обозначен аргумент функции.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю,

                                            т.е. .

3. Для любого действительного числа    справедливо равенство:

                                         .

4. Сформулируем геометрический и физический смысл определенного интеграла.

а)   Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. плоскую фигуру, ограниченную сверху графиком   , прямыми:   с боков и отрезком  оси   .  Тогда определенный интеграл от неотрицательной функции    численно равен площади       криволинейной трапеции, т.е.   

 

                                   

                                               

                                            

                      Рисунок 2

б) Физический смысл определенного интеграла

Работа переменной силы   , величина которой есть непрерывная функция, действующей на  отрезке   , равна определенному интегралу от величины  силы, взятому по отрезку   , т.е.     .

Таким образом, работа    силы    по перемещению точки  вдоль оси   из точки    в точку     равна данному определенному интегралу.

5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Сформулируем следующую теорему.

Теорема. Если   непрерывна на  и   - какая-либо ее первообразная на  , т.е. , то имеет место формула Ньютона – Лейбница:

                              .

Таким образом, для вычисления определенного интеграла некоторой непрерывной функции нужно  уметь находить ее первообразную. Следовательно, методы нахождения неопределенного интеграла переносятся на определенный интеграл. Однако отметим некоторые особенности вычисления определенного интеграла:

а) интегрирование с помощью замены переменной  в определенном интеграле. Рассмотрим два возможных способа вычисления одного и того же интеграла.

 

       б) интегрирование по частям в определенном интеграле рассмотрим на примере:

                                  ;

     

в) интегрирование четных и нечетных функций в симметричных отрезках интегрирования:

            

- четная                                                        Рисунок 3

- нечетная                                                                                                   Рисунок 4