Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 3

          

  1                                                       

                                                                    

           0              1       2            3          

                     - 1

                     - 2                          

                     - 3          

а) Построим графики данных функций:

     - прямая;

     - парабола; приведем ее уравнение к каноническому виду:

    ;

    ;

;

 откуда координаты вершины , ветви вниз. Находим точки пересечения параболы  с осью :

    ,     или  .

б) Чтобы найти площадь данной фигуры, разобьем ее на части. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков, решив систему уравнений данных линий:

      

Тогда  (кв. ед).

         ;          (кв. ед.).

         .

           (кв. ед).

в)   (кв. ед.)

Замечание.  Площадь этой же фигуры можно вычислить более рациональным  способом, применив формулу  

     

Ответ:    кв. ед.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой   и осью Оу.

Решение.

   

                         

    1                                          

    0               1                        

    -1 

                         Рисунок 10

а) Построим графики данных функций;

 - прямая, параллельная оси  ;

 - полукубическая парабола.

б) Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся случаем, когда кривая задана функциональной зависимостью  . Выразим    через   :

                                         .

Тогда             (кв. ед.).

Ответ:   кв. ед.

Замечание. Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически,  то

                              

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  , прямой    и осью .

Решение.

Построим графики данных функций. Так как одна из линий задана параметрически, то придавая параметру произвольные  значения, составим таблицу значений функции.

-2

-1

0

1

2

4

1

0

1

4

-8

-1

0

1

8

        

                           

           1                                     

                            

           0             1                        

          -1                       

      Таким  образом, считая

  найдем  , подставим найденные выражения в формулу, предварительно вычислив пределы интегрирования по :

            

( в нашем случае ).

          

( в нашем случае ).

Тогда  , так как  кв. ед.;

 (кв. ед.).

 кв. ед.

Ответ:   кв. ед.

2. Вычисление площадей плоских фигур в случае, когда линии, их ограничивающие, заданы в полярной системе координат.

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора АОВ  вычисляется по формуле:

                           В                  

                                         А

                                                            

  0                                      

                        Рисунок 11

.

Пример 4. В полярной системе координат построить фигуру, ограниченную указанной линией, и вычислить ее площадь:    .

Решение.

а) Составим таблицу значений   задавая шаг для  .

3,4

 
                            

            2                   

                                            

    0,6                   

       0                                  4     

    0,6

                Рисунок 12

График этой функции – кардиоида.

0

4

3,4

2

0,6

0

0,6

2

3,4

4