|
а) Построим графики данных функций:
|
;
откуда координаты вершины
, ветви вниз. Находим точки пересечения
параболы с осью
:
,
,
или
,
.
б) Чтобы найти площадь данной фигуры, разобьем ее на части. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков, решив систему уравнений данных линий:
Тогда
(кв. ед).
;
(кв.
ед.).
.
(кв. ед).
в) (кв. ед.)
Замечание. Площадь этой же фигуры можно вычислить более рациональным способом, применив формулу
Ответ: кв. ед.
Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой
и осью Оу.
Решение.
1 0 1 -1 Рисунок 10 |
а) Построим графики данных функций;
|
б) Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся
случаем, когда кривая задана функциональной зависимостью . Выразим
через
:
.
Тогда (кв.
ед.).
Ответ: кв. ед.
Замечание. Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически, то
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ,
прямой
и осью
.
Решение.
Построим графики данных функций. Так как одна из линий задана параметрически, то придавая параметру произвольные значения, составим таблицу значений функции.
1
0 1 -1 |
Таким образом, считая
(
в нашем случае
(
в нашем случае Тогда
|
||||||||||||||||||
(кв. ед.).
кв. ед.
Ответ:
кв. ед.
2. Вычисление площадей плоских фигур в случае, когда линии, их ограничивающие, заданы в полярной системе координат.
Если непрерывная кривая задана в полярных координатах
уравнением , то площадь сектора АОВ вычисляется по
формуле:
А
0 Рисунок 11 |
|
Пример
4. В полярной системе координат
построить фигуру, ограниченную указанной линией, и вычислить ее площадь: .
Решение.
а)
Составим таблицу значений задавая шаг для
.
![]() 2 0,6
0 4 0,6 Рисунок 12 График этой функции – кардиоида. |
|
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.