Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 3

;

 откуда координаты вершины , ветви вниз. Находим точки пересечения параболы  с осью :

    ,   ,    или  ,  .

б) Чтобы найти площадь данной фигуры, разобьем ее на части. Для этого найдем координаты точек пересечения графиков, решив систему уравнений данных линий:

Тогда  (кв. ед).

         ;          (кв. ед.).

         .

           (кв. ед).

в)   (кв. ед.)

Замечание.  Площадь этой же фигуры можно вычислить более рациональным  способом, применив формулу  

Ответ:    кв. ед.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой   и осью Оу.

Решение.

б) Для вычисления площади этой фигуры воспользуемся случаем, когда кривая задана функциональной зависимостью  . Выразим    через   :

                                         .

Тогда             (кв. ед.).

Ответ:   кв. ед.

Замечание. Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически,  то

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  , прямой    и осью .

Решение.

Построим графики данных функций. Так как одна из линий задана параметрически, то придавая параметру произвольные  значения, составим таблицу значений функции.

 (кв. ед.).

 кв. ед.

Ответ:   кв. ед.

2. Вычисление площадей плоских фигур в случае, когда линии, их ограничивающие, заданы в полярной системе координат.

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора АОВ  вычисляется по формуле:

Пример 4. В полярной системе координат построить фигуру, ограниченную указанной линией, и вычислить ее площадь:    .

Решение.

а) Составим таблицу значений   задавая шаг для  .

3,4                                            2                                                                     0,6                           0                                  4          0,6                 Рисунок 12 График этой функции – кардиоида.

0 4 3,4 2 0,6 0 0,6 2 3,4 4