Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 7

7. Несобственные интегралы

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода), или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл II рода).

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы I рода. Здесь возможны три варианта:

1) Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда

0 а х

Рисунок 19

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится; если же предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

2) Если функция непрерывна на промежутке , тогда

в 0 х

Рисунок 20

Сходимость и расходимость такого интеграла определяется аналогично.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

где с – произвольное число.

0 с х

Рисунок 21

Интеграл, стоящий в левой части равенства, сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость :

1. данный интеграл сходится.

2. т. к. при не существует, данный интеграл расходится.

следовательно, данный интеграл сходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл, достаточно лишь знать, сходится он или нет.

Сформулируем признак сходимости:

Интеграл : 1) сходится, если и ;

2) расходится, если и , где М, m - постоянные.

Пример. Установить, сходится или расходится интеграл , используя признак сходимости.

Решение. Так как , то , т.е. подынтегральная функция удовлетворяет условию (1) при , данный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы II рода.

Если функция терпит бесконечный разрыв в точках , или , или , то интеграл называется несобственным интегралом II рода.

Таким образом, при вычислении таких интегралов также возможны три варианта:

0 а в х

Рисунок 22

1) если - точка разрыва :

, где ;

0 а в х

Рисунок 23

2) если - точка разрыва :

;

0 а с в х

Рисунок 24

3) если - точка разрыва , где

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл II рода расходится. В противном случае – сходится.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: