Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 4

б) Вычислим , т.к. изменяется от 0 до (см. рис. 12), т.к. фигура симметрична относительно Ох, где

Ответ: кв. ед.

2. Вычисление длины дуги различных кривых

а) Вычисление длины дуги в прямоугольных координатах

А В

0 а в х

Рисунок 13

1) Если линия задана уравнением , то длина ее дуги АВ вычисляется по формуле :

Рассмотрим пример:

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением от начала координат до точки .

Решение. Найдем производную функции , т. е.

;

т.к. О(0; 0), в нашем случае

2) Если уравнение кривой задано в параметрическом виде, т. е. , то длина дуги вычисляется по формуле:

где - значения параметра, соответствующие концам дуги.

Рассмотрим пример.

Найти длину дуги полукубической параболы, заданной параметрически между точками А ( 1; 1 ) и В ( 4; 8 ) (см. рис. 10).

Решение. Так как , в нашем случае , найдем значения параметра , соответствующие концам дуги.

Для этого абсциссы точек А и В подставляем в уравнение , тогда при нахождении нужно решить .

Так как точки расположены на кривой над осью , .

Аналогично получим уравнение , по тем же соображениям выбираем значение .

Тогда

(введем новую переменную находим пределы интегрирования для : ).

Ответ: .

б) Вычисление длины дуги в полярных координатах

Если кривая АВ задана уравнением в полярных координатах , где , то .

Рассмотрим пример.

Вычислить дугу кардиоиды, заданной в полярной системе координат: , где (т.е. той части кривой, которая расположена выше оси ).

Решение.

Рассмотрим уже известную нам кривую (см. рис. 12). Применим формулу

, где , тогда

Задания для самостоятельной работы.

Приложения определенного интеграла

I. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

Ответы:

1.
2. и координатными осями.
3. и осью Оу.
4. - эллипс.
5. Одним витком спирали Архимеда .
6. - лемниската Бернулли.
7. и .
II. Найти длины дуг следующих кривых:
1. от до .	.
2. .	.
3. , .	.
4. от до .	.