При вращении данной плоской фигуры вокруг оси Оу образуется тело с «вырезанным» круговым цилиндром, получающимся при вращении прямоугольника ОВСF вокруг Оу, причем он состоит из двух цилиндров с объемами . Найдем объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции АВСD вокруг Оу:
4 В С
А К Д 0 F Е х
|
|
Тогда (куб. ед.).
Ответ: куб. ед.
4. Площади поверхностей, образованных вращением
дуги кривой вокруг оси Ох
а) Если кривая задана уравнением вида: , то
.
б) Если кривая задана параметрическими уравнениями: , причем , , то
,
где - значения параметра , соответствующие концам дуги.
в) Если кривая задана уравнением в полярных координатах , где и имеет непрерывную производную на , то
.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением полуокружности, расположенной выше оси Ох, вокруг нее.
Решение.
у R В А -R 0 R x |
а) уравнение окружности , , , т. к. окружность расположена выше оси Ох, ; |
.
б) Найти площадь той же поверхности, если кривая задана параметрически.
Решение.
Уравнение данной окружности, заданной в параметрической виде: , , найдем значения параметра, считая концами дуги точки , подставим абсциссы этих точек в уравнение для х: т. е. , тогда
Найдем аналогично :
Тогда по формуле:
в) Найти площадь той же поверхности, если кривая задана в полярной системе координат.
Решение. В полярной системе координат уравнение данной окружности имеет вид: , т. к. уравнение окружности в прямоугольных координатах , тогда по формулам перехода в полярную систему координат:
Так как , найдем площадь данной поверхности:
Задания для самостоятельной работы
I. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
Ответы:
1. где вокруг а) оси Ох; б) оси Оу. |
а) ( ед.3 ). б) ( ед.3 ). |
2. и осью Оу вокруг оси Оу. |
( ед.3 ). |
3. и биссектрисой I координатного угла вокруг оси Ох. |
( ед.3 ). |
II. Вычислить площади поверхностей, полученных вращением кривых вокруг оси Ох.
1. ; |
(кв. ед.). |
2. , ; |
(кв. ед.). |
3. вокруг полярной оси. |
(кв. ед.). |
5. Приложения определенных интегралов к решению
физических задач
1) Путь, пройденный точкой.
Пусть точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее есть известная функция времени . Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени , равен: .
Пример.
Скорость тела задается формулой м/с. Найти путь, пройденный те-
лом за первые 10 секунд после начала движения.
Решение.
Здесь , тогда
Ответ:
2) Работа силы.
Если переменная сила действует в направлении оси Ох, то работа силы на отрезке равна .
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 Н растягивает ее на 0,01 м ?
Решение.
Так как , где - коэффициент пропорциональности, - сила, растягивающая пружину на м.
Полагая ; , тогда
(дж).
Ответ: дж.
3) Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры.
А В 0 а в х Рисунок 16 |
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми: (осью Ох), (см. рис. 16). Считаем, что поверхностная плотность пластинки постоянная, т.е. . Тогда масса всей пластинки находится по формуле: . |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.