Определение определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла, страница 2

Рассмотрим применение этой формулы на примерах:

нечетные функции, интегралы от них =0. =

нечетн.

четн.

II. Основные свойства определенного интеграла

где .

2. ;

где .

3. .

4. ,

если .

5. Если сохраняет знак на отрезке , то интеграл

сохраняет тот же знак, т. е. например, если для любого .

6. Если - непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что (теорема «о среднем»).

7. Если при , то .

8. Если - наименьшее, а - наибольшее значения функции непрерывной на отрезке , то:

(теорема «об оценке»).

9. , где .

Пример 1. Вычислить среднее значение функции на отрезке .

Решение. Так как является непрерывной на указанном отрезке, то можно применить свойство 6 (теорему о среднем);

выразим из данного соотношения как неизвестное из уравнения:

, т. е.

Пример 2. Оценить интеграл: .

Применим теорему «об оценке» определенного интеграла (свойство 8).

Найдем значения функции на концах отрезка:

, .

Найдем также . Так как здесь - наименьшее значение, а

- наибольшее значение функции, .

Ответ: .

Пример 3. Не вычисляя, сравнить значения интегралов: или .

Решение. Так как при по свойству 7 .

Задания для самостоятельной работы.

Вычислить определенные интегралы с помощью формулы Ньютона –Лейбница:

1. ,	Ответ: 66.
2. ,	Ответ: 1.
3. ,	Ответ: 40.
4. ,	Ответ: .
5. ,	Ответ: .
6. ,	Ответ: .
7. ,	Ответ: .
8. ,	Ответ: .
9. ,	Ответ: .
10. ,	Ответ: .
11. ,	Ответ: .
12. ,	Ответ: 3.

III. Приложения определенного интеграла

1. С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми. Напомним, что кривые могут быть заданы различными способами, т.е.

1) в прямоугольных декартовых координатах (в явном виде и параметрически);

2) в полярных координатах.

Рассмотрим случаи вычисления площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

а) если фигура представляет из себя криволинейную трапецию вида.

Рисунок 5

;

б) если криволинейная трапеция расположена ниже оси , т.е. тогда исходя из свойств определенного интеграла

Рисунок 6

В общем случае ;

в) если плоская фигура имеет сложную форму, т.е. прямые «вырождаются» в точки, то фигуру следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы.