Дискретная математика: Учебное пособие. Часть I - Основания дискретной математики, страница 16

шаг 1. если A=B, то записать выражение (АÇùВ)È(ВÇùА)=Æ;

шаг 2. в выражении (АÇùВ)È(ВÇùА) найти члены, конъюнктивно связанные с искомым множеством X, т. е. ((...)₁ÇХ), и его дополнениемùX, т. е. ((...)₂ÇùХ), где (...)₁ и (...)₂ - выражения на известных подмножествах;

          Шаг 3. если в выражении (АÇùВ)È(ВÇùА) окажется выражение – (...)₃, свободное от X и ùX, то его конъюнктивно соединить с (XÈùX), т.е. (...)₃Ç(XÈùX), и преобразовать по закону дистрибутивности в выражение ((...)₃ÇX)È((...)₃ÇùX);

шаг 4. если (АÇùВ)È(ВÇùА)=Æ, то ((...)₁È(...)₃)ÇХ и ((...)₂È(...)₃)ÇùХ порознь также равны пустому множеству,

т. е.    ((...)₁È(...)₃)ÇХ=Æ

((...)₂È(...)₃)ÇùХ=Æ;

шаг 5: если ((...)₁È(...)₃)ÇХ=Æ, то X включено в дополнение ((...)₁È(...)₃),

т. е. XÍù((...)₁È(...)₃), и

если ((...)₂È(...)₃)ÇùХ=Æ, то ((...)₂È(...)₃) включено в X,

т. е. ((...)₂È(...)₃)ÍX.

Следовательно, ((...)₂È(...)₃)ÍXÍù((...)₁È(...)₃),

т. е. найдена область определения множества X.

Пример: Найти множество X по тождеству (ХÈМ)=N  при условии M и N –изестные множества.

·  ((XÈM)ÇùN)È(NÇù(XÈM))=Æ;

·  ((XÈM)ÇùN)È(NÇùXÇùM)=Æ;

·  (XÇùN)È(MÇùN)È(NÇùXÇùM)=Æ;

·  (XÇùN)È(MÇùN)Ç(XÈùX)È(NÇùXÇùM)=Æ;

·  XÇùN)È(XÇ(MÇùN))ÈùXÇ(MÇùN)È(ùXÇ(NÇùM))=Æ;

·  (XÇ(ùNÈ(MÇùN))ÈùXÇ(MÇùNÈNÇùM)=Æ;

·  (XÇùN)È(ùXÇ(MDN)=Æ;

·  ùNÇX=Æ и (MDN)ÇùX=Æ;

·  (MDN)ÍXÍN;           

· 

если (ХÈМ)=N, то                                                                                                                                                     Рис. 6 Поиск множества X

 (ХÈМ)ÍN и NÍ(XÈM), т. е. МÇ(ùN)=Æ и (МDN)=(N\ùM). Тогда (N\M)ÍXÍN.       

Пример: Найти множество X по системе уравнений:

A\X=B;

AÈX=C при условии A, B, С – известные множества и BÍAÍC.

·                 AÇùX=B;

AÈX=C;

·                 (AÇùX)ÇùBÈù(AÇùX)ÇB=Æ;

(AÈX)ÇùCÈù(AÈX)ÇC=Æ;

·                 (AÇùBÇùXÈ(ùAÈX)ÇB=Æ;

AÇùCÈùCÇXÈùAÇCÇùX=Æ;

·                 (AÇùX)ÇùBÈù(AÇùX)ÇB=Æ;

(AÈX)ÇùCÈù(AÈX)ÇC=Æ;

·                 AÇùBÇùXÈùAÇBÇ(XÈùX)ÈBÇX=Æ;

AÇùCÇXÈAÇùCÇùXÈùCÇXÈùAÇCÇùX=Æ;

·                 AÇùBÇùXÈùAÇBÇXÈùAÇBÇùXÈBÇX=Æ;

AÇùCÇXÈAÇùCÇùXÈùCÇXÈùAÇCÇùX=Æ;

·                 AÇBÇXÈBÇX ÈAÇùBÇùXÈùAÇBÇùX =Æ;

AÇùCÇX ÈùCÇXÈAÇùCÇùXÈùAÇCÇùX=Æ;

·                 (ùAÇBÈB)ÇX È(AÇùBÈùAÇB)ÇùX =Æ;

(AÇùCÈùC)ÇXÈ(AÇùCÈùAÇC)ÇùX=Æ;

·                 BÇX È(ADB)ÇùX =Æ;

ùCÇXÈ(ADC)ÇùX=Æ;

·      если BÍAÍC, то (B\A)=Æ и A\C=Æ, т. е. (ADB)=(A\B) и (ADC)=(A\C). Тогда   BÇX È(A\B)ÇùX =Æ;   ùCÇXÈ(A\C)ÇùX=Æ.

Следовательно, (A\B)ÍXÍùB и (С\A)ÍXÍC.

Рис. 7 Поиск неизвестного множества

Вопросы и задачи

1.1 Верны ли выражения:

а) {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

b) {{1, 2}, {2, 3}}={1, 2, 3};

          c) {1, 2}Í{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};

          d) если АÍВ и ВÎС, то АÎС;

          e) если АÍÆ, то А=Æ;

f) если UÍA, то U=A;

          g) Æ={Æ}.

1.2 Перечислите элементы множеств

          а) Х={х| Р(х):-(х²-7х+6=0)};

          b) Х={х| Р(х):-(х²-1=0)}.

1.3 Верно ли, что А=В, если

          а) А={2, 5, 4}, B={5, 4, 2};

          b) A={1, 2, 4, 2}, B={1, 4, 2};

          c) A={2, 4, 5}, В={2, 4, 3};

           d) A={1, {2, 5}, 6}, B={1, {5, 2}, 6}.

1.4 Даны множества X={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y={2, 4, 6} и элементы прямого произведения {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 2)}Í(XÄY). Что это: соответствие или отображение? Укажите области отправления и прибытия, определения и значений.

1.5 Найти область определения и значения для отображения

а) h={(x, y)|P(x, y):-” х делит y без остатка”; x, yÎ{1, 2,..10}};

b) h={(x, y)|P(x, y):- “2x³3y”; x, yÎ{1, 2,..10}}.

1.6 Пусть Х - множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентными отношение параллельности и отношение перпендикулярности прямых?

1.7 Какими свойствами обладают отношения r¹, r², r³: