Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Теория электромагнитного поля. Закон Кулона. Теорема Гаусса в интегральной форме, страница 7

Проведем ч/з данную точку цилиндрическую поверхность так, чтобы ось цилиндра совпадала с заряженной осью.

2-я форма записи т. Гаусса в дифф. форме записи.

Поток вектора ч/з донышки цилиндра = 0, т.к.

или в векторной форме .

Для определения потенциала выберем цилиндрическую С.К. В этом случае эквипотенциальная поверхность поля совпадает с выбранной координатной поверхностью.

В Ц.С.К. положение точки Р характеризуется тремя координатами , а выражение для grad имеет вид:

Очевидно, что в этом случае потенциал рассматриваемой точки зависит только от одной координаты и выражение для grad упрощается

или для модулей , откуда .

Величина постоянной интегрирования зависит от того, потенциал какой точки принимается равным 0.

Пример(Метод наложения): Определить и Е поля, создаваемого двумя заряженными осями.

2x0 – расстояние между осями.

Результирующая напряженность поля в точке М:

Если принять равенство нулю кат-ка на оси у (при ), то

=> C=0

Определим потенциал точки М через ее координаты.

;

На рисунке окружности – эквипотенциальные линии. Уравнения эквипотенциали => Для каждой эквипотенциали данной задачи выполняется: .

Обозначим (*)

После некоторых преобразований выражения (*) получим величину радиуса эквипотенциальных окружностей.

И координаты центра этих окружностей: .

В двух последних формулах ,знак (+) берется при к<1, т.е. для окружностей рассматриваемых в кривой полуплоскости, для к>1 в левой полуплоскости.

Найдем потенциал и емкость на ед. длинны двухпроводной линии передачи

Поверхность проводника – эквипотенциальная. Внутри проводника поле отсутствует. Два исходных повода можно заменить двумя фиктивными заряженными зарядами и подобрать такое их расположение при котором эквипот. пов-ти фиктивных осей совпали бы с пов-ю проводов линии передачи. Тогда, согласно следствию (1) из т. Единственности, поля вне проводов будет таким же, как и поле фиктивных заряженных осей.

Дано: / Найти: g

а; d; /

Решение:

; .

Для эквипот. поверхностей выполняется .

Рассматривая точки 1 и 2 получим:

(*)

- условия эквипотенциальности.

Потенциал в любай точке М:

;

Определим емкость на единицу длинны линии: ;

Определим координаты точек 1 и 3

1) x=d/2-a; y=0

3) x=(-d/2-a); y=0

;

Если а>>g d>>a .

При расчете более сложных полей, используется непосредственное интегрирование ур-я Пуассона.

Общий порядок расчета состоит в следующем: в зависимости от вида задачи выбирают корд. систему если учесть удачным ее выбором удается представить потенциал в виде функции одной переменной, то ур-е в частных производных Пуассона (Лапласа), превращается в обыкновенное Д.У.

Если потенциал оказывается функцией 2-х или 3-х коорд., то обычно для решения ур-я в частных произв-х используют метод разделения переменных (м-д Фурье).

Затем по исходным данным и условиям на границе раздела сред определяют:

а) в случае обыкновенного Д.У. пост. интегр-я.

б) в случае ур-я в Ч.П. – функции удовл-е граничн. Условии.

Пример: Интегрирование ур-е Пуассона.