Элементы зонной теории твердого тела

Раздел 3. Элементы зонной теории твердого тела.

Лекция 4. Разрешённые и запрещённые по энергии зоны в кристаллах.

Расщепление атомных уровней в зоны. Металлы, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории. Уравнение Шредингера для кристалла - адиабатическое приближение, одноэлектронное приближение, электрон в периодическом потенциале, Блоховские волны. Квазиимпульс, модель расширенных и приведённых зон Бриллюэна. Электрон в твердом теле как квазичастица.

Из атомной физики известно, что электроны в атоме находятся на строго определённых, дискретных уровнях энергии. Энергия уровня и вид волновой функции электрона определяется главным квантовым числом – n , орбитальным моментом импульса - l и его проекцией - m. Если в системе нет выделенного направления, то, пренебрегая взаимодействием орбитального момента с магнитным моментом ядра, уровни с моментом l вырождены с коэффициентом вырождения 2l+1. Плюс, на каждом уровне может находиться (согласно принципу Паули) не более двух электронов (с противоположными спинами) [1.7]. Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием, можно считать, что (в отсутствии внешнего магнитного поля) все уровни двукратно вырождены по спину.

Рассмотрим атом щелочного металла, скажем натрия. Порядковый номер натрия в таблице Менделеева одиннадцать, из одиннадцати его электронов десять находятся на уровнях с главным квантовым числом 1 и 2. Эти уровни расположены глубже по энергии, чем уровни с квантовым числом 3. «Облака» электронов, связанные с «глубокими» уровнями сильно локализованы на ядрах, и, практически не взаимодействуют с соседними атомами. При сближении N атомов натрия, внешние электроны напротив, начинают сильно взаимодействовать с соседними атомами, электронные облака перекрываются. Из-за взаимодействия возникнет N (двукратно вырожденных!) уровней, немного различающихся по энергии. Если число N велико, (в кубическом сантиметре кристалла находятся порядка 10²²-10²³ атомов), то разница в энергии между двумя соседними уровнями настолько ничтожна, что становится меньше неопределённости энергии, и их невозможно «различить» по энергии. Спектр энергии становится квазинепрерывным, и в этом случае говорят об образовании энергетической зоны (band). В случае атомов натрия последний, верхний по энергии из N внешних электронов располагается в разрешённой зоне (рис. 3.1, слева). То есть, даже при нулевой температуре, при любом малом внешнем воздействии (скажем, при приложении электрического поля) он может перейти в близкое состояние по энергии и импульсу, то есть электрон подвижен. В таком случае, кристалл будет обладать металлическим типом проводимости.

Рис. 3.1. Иллюстрация образования энергетических зон. R – расстояние между ближайшими атомами.

Таким образом, кристаллы, образованные из атомов первой группы таблицы Менделеева, всегда будут обладать металлическим типом проводимости. По предсказаниям теории атомарный водород может кристаллизоваться (при очень больших давлениях), образую «металлический водород».

Рассмотрим теперь элемент из 4-ой группы таблицы Менделеева, в которой находятся самые распространённые полупроводники – германий и кремний. Атом кремния имеет 14 электронов, 4 из которых расположены на внешних оболочках с главным квантовым числом 3, два занимают s-оболочку, два оставшихся – p-оболочку (обозначения общепринятые, как в книге 1.7). Представим, что произойдет при сближении N атомов четвёртой группы. Внешняя s оболочка преобразуется в полностью заполненную 2N электронами s-подобную зону (содержащую N двукратно вырожденных состояний). Напомним, что p-оболочка трёхкратно вырождена по проекции момента, и, с учётом вырождения по спину, p-подобная зона содержит 6N уровней. То есть, оставшиеся 2N электрона не заполняют эту зону полностью (заполняет только на одну треть!), и, кристалл из элементов 4-ой группы должен быть металлом!!? В общем, ничего удивительного в этом нет, элемент IV группы свинец обладает металлической проводимостью, олово может быть как полупроводником (серое олово) так и металлом (белое олово). Расплавленный германий (температура плавления которого не так уж велика – 937^o C) обладает металлическим типом проводимости. Алмаз, кремний и германий напротив, являются полупроводниками. Необходимо отметить, что и свинец и белое олово не являются кристаллами с решёткой типа алмаза, а координационное число в расплавленном германии (в котором, естественно, нет дальнего порядка, но есть ближний) не равно четырём.