Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка)

Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка)

Всегда их можно свести к системе. A – матрица – (a_ij(t)). Если однородное уравнение, если неоднородное. ,  - функция источника. - уравнение второго порядка. Вводим:

 линейная комбинация решений – есть решение – для однородной системы уравнений. Если функции непрерывныусловие Липшица автоматически выполняются, то есть достаточно непрерывности (a_ij). Ставится задача Коши: как находить решение: . существует общее решение (решение однородного) и частное (решение неоднородного) уравнений.

Теорема №1: любое решение уравнения , может быть представлено в виде y(t)=, где y₁(t), y₂(t),…, y_n(t) – фундаментальная система решений, С_k=const (постоянная).

Доказательство:

Пусть y(t) – решение (1). Тогда берем t₀- некоторая точка. Положим y₀=y(t₀), y₀₁=y^’(t₀),…, y_0(n-1)=y^(n-1)(t₀). У этого уравнения есть Фундаментальная система решений. Рассмотрим систему относительно С_k: . Эта система имеет единственное решение, так как это система фундаментальных систем решений, а det (матрицы) = B(t₀), а он по т. Крамера С_k –можно найти мы знаем.

Рассмотрим функцию (t)=- это решение уравнения (1) ( так как линейная комбинация). Эта функция имеет данные Коши. У  (t) совпадают данные с y(t) . Ч.Т.Д.

 Такое решение называют общим решением. Если уравнение неоднородное частное решение.

Простейшие методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Примеры дифференциальных уравнений:

1.   ,  - задана, надо найти y

2.   c разделяющимися переменными ,  - функции => и интегрируем.

3.   делаем замену

4.      делаем замену

5.  , где  и  - две функции. (*) Если найдется F(y,t),такое что а =>”первый интеграл”, а потом ищем y как неявную функцию. (*)Если не существует F , то домножаем на  интегрирующий множитель:

6.  Уравнение Риккати (1-ого порядка):  - такое уравнение не решается! (в квадратурах).

7.  ,  Тогда порядок уравнения уменьшается на k => . И решаем.

8.   вместо => понизится порядок.. Допустим мы нашли p(y), теперь надо найти исходное y

9.  . F-однородна по всем переменным. Т.е. . Тогда замена  => порядок уменьшается на один.  .   Подставим => (при )

Понятие диф. уравнение. Примеры.

Рассмотрим функцию  ,, , Т.е. функция (2n+1)-переменных.  Найдем , такая, что (*)-дифференциальное уравнение с частными производными 1 порядка. Проблема заключается в поиске .  Если - при x-одномерное =>это обыкновенное уравнение  1 порядка.  Обычно записывают . Т.е.  ,  – задана, а – надо найти. Если (начальное состояние), то определение  => однозначное определение. Пример: субстанция, вообще уравнение это связь между субстанцией и скоростью. Пример: . Если система уравнений, то просто в (*) ставим над x черточку =>  и над => система дифференциальных уравнений m-того порядка:   . И для обыкновенного:  m-того порядка.

Уравнения второго порядка

, , . Вторые производные - это симметрические матрица

) => переменных =

- дифференциальное уравнение 2-ого порядка. Если размерность x-единица, то -обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Если субстанция, то grad =>скорость;     =>ускорение.

Примеры:

1.  Рассмотрим уравнение ,   ,

Это линейная функция – уравнение теплопроводности (диффузии).

2.  - волновое уравнение (линейное) (описывает колебательный процесс) - это колебание однородной струны.

3.  -  уравнение Лапласа(для стационарного процесса всё устоялось)

4.  уравнение Гельмгольца.

5.  - уравнение кинетическое. Ф(x,t) – потенциал, p – потенциал, t – время, - положение, точка пространства. U - распределение частиц(её интеграл дает количество частиц). Stu столкновение частиц. Если stu равно нулю, то непрерывность движения.

6.  Уравнение переноса (движение заряженных частиц) , если справа не 0, а Если справа не 0, Ф(…) => неоднородное уравнение.

7.  (*)  , 2 функции и  , это линейная система уравнений первого порядка. Это система Коши - Римана – Даламбера - Эйлера. Если взять  и записать ряд ,то ряд записывается = . Если ряд сходится в области, то U₁ и U₂ будут удовлетворить той системе уравнений(*). Потоки (любые) хорошо описываются такими функциями.

8.  Максвелл: система, описывающая магнитные поля:

9.   - функции источника. Это уравнение Эйлера - газовой динамики. Это нелинейная система.

10.  при наличии вязкости это уравнение потрясающе описывает.

11. (это уравнение Шредингера) - линейное уравнение в комплексной плоскости. u -комплексозначная , h - постоянная Планка, , u-волновая функция(сама не имеет физического смысла, но её модуль имеет).

Модуль U - вероятность пребывания частицы в области D

Задача Коши для обыкновенного диф. уравнения.

Будем рассматривать уравнения 1-го порядка типа

1)  ; F – непрерыв. ф-ии, = (y₁, …, y_m), F = (F₁, …, F_m),

2) 

Если есть другие разрешённые уравнения, то они тоже сводятся к этой системе.

Это задача Коши (если + задаётся) – поиск решений системы уравнений!

Если m=1  и - это задача Коши для одного уравнения