Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка), страница 6

 

– это целая функция => фиксир. t и разлаг.в строку Тейлора по z. Затем вместо z ставим A. Подставим в W(t) вместо t  a => пропадает вторая скобка, т.к. . Первая скобка: интегралы сократятся, а  единичная матрица => E W_a

Если t = b => первая скобка = 0, во второй скобке интегралы сократятся, а останется Е  W_b, т.е.совпало.

Теперь покажем, что удовлетворяет ур-ю

Диф-ем, считая, что А = const

=

 – если всё аккуратно подставить

Понятие линейно зависимой и независимой системы ф-ии (с примерами).

Определение: система функций y₁(t), y₂(t),…, y_m(t),  называется линейно зависимой на , если так что . Линейно независимыне удовлетворяет этому условию, все с_j=0.критерий зависимости и независимости: строится определитель Вронского:

ФСР линейного уравнения n-ного порядка с постоянными коэффициентами

Теорема: пусть  - корни характеристического уравнения ; (кратность) . Тогда можно построить по каждому корню  систему функций  эта система есть ФСР

, первое уравнение записано по первому корню и т.д.

Таких уравнений n штук и они линейно независимы. Теперь надо решать само уравнение.

Доказательство: рассмотрим случай, что кратность каждого корня = 1, т.е. , - n функций. Надо показать, что каждая функция является решением и они линейно независимы. Будем искать решение в виде  дифференцируем n раз . Докажем, что они линейно независимы. Пусть они линейно зависимы  . Пусть, если . Дифференцируем - пропадёт! И т.д. вытекает что они линейно независимы!

Если корень комплексный существуют сопряженные  и   - тоже решения.

Если  корни имеют кратность: пусть первый корень нулевой, т.е. , его кратность равняется   - такой вид уравнения решения (если подставить). А если  - тоже решение. Если же корень ненулевой - рассмотрим функцию. Она удовлетворяет новому уравнению и имеет нулевой корень кратности , а далее подставим и получим те не решения. Можно иначе: если  - корень, то и произв. ф-ции имеет корень, только порядка на единицу меньше.

Пример:  все производные по k (19)ой степ. имеют корень 2. Поэтому эти функции являются решениями!

Покажем, что они лин. незав.

 

По индукции: для 2t

Пусть   ,

. Берем произв. столько раз, чтобы на единицу больше, чем степень левого полинома =0 противоречие. И т.д.  – по индукции (таким же методом)

Уравнение колебаний струны. Общее решение

(1)    =      (-∞ < x < +∞); (t ≥ 0)

(1)   U|_t=0 = U₀(x)     |_t=0 = U₁(x)

(1)&(2) – задача Коши

 + здесь же написать формулу Даламбера.

Система линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами на плоскости. типы точек покоя.

Это равносильно характеристике поведения. . - матрица.

(0;0) – точка покоя, нулевое решение. Фазовая плоскость – это как ведет себя решение в окрестности точки покоя.  - характеристическое уравнение.

(1) =0

*1)  - корни уравнения (1). Так мы получили характеристическое уравнение .

 Решения:, а

                  :, а , где и - собственные векторы. Любое решение линейной комбинации этих двух решений. Займемся теперь поведением решения в точке покоя:

1 случай: корни к₁ и к₂ – различны (к₁ и к₂решения уходят на +, растут.(рисунок).

2 случай: к₁ и к₂с ростом t стремятся решения к нулю.(рисунок)

3 случай: к₁>0, а k₂<0 «седло» (рисунок)

4 случай: комплексные корни (и к₁  и k₂)  По формуле Эйлера записать, отдельно линейную отдельно мнимую часть.

А)p>0 (рисунок)

Б)p<0 (рисунок)

В)p=0 (рисунок)

*Если же корни равны   , если k₁<0устойчивый узел, если k₁>0неустойчивый узел.

* Если det=0траектория – прямые линии.

Так как один корень =0 (K=0); и- собственные вектора.()

. и приравнять. уравнение прямой. постоянное решение. устойчивое решение.

Пример: колебание с затуханием. Это линейное уравнение 2-ого порядка. (характеристическое уравнение.

1)b=0 «центр», корни комплексные, сопряженные. Чисто периодическое решение!

2)b>0, а устойчивый фокус.

3) b>0, а устойчивый узел.

4) b<0, а неустойчивый фокус.

5) b<0, а неустойчивый узел.