Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка), страница 7

Операторные формулы в задачи Коши и управления. Формальные операторы формулы, дающие решение задачи Коши (ряд сходится)

Нужно написать операторные формулы в задачи Коши и управления +

Общая ситуация

(1) =LU    L – (втор. порядка) лин. опер. не зависит от t

L= +  + о(x),

    где  - диффузия,  - перенос, о(х) – поглощение

(2) = U₀(),ЄD   (3) αU + β= 0  (α и β - const) – ур-е непротекания

Смешанная краевая задача

Попробуем метод Фурье:

U(x,t) = T(t)X(x) – будем искать

Вставляем в (1)  → T’(t)X() = T(t)LX() → = L = -λ – const

(5)= 0 – это нач. краевая задача  ЄD ;

     

                        Это основная задача спектрального анализа

λn   n = 1,2,3…  - собственные значения       

X_n()                  - собственная функция

T(t) = e^-λnt →  U(x,t) =

C_n определяется из начального условия:  Если вместо (1) -

Понятие задачи вариационного исчисления.

Функционал (веществ.) функция, определенная на множестве метрических пространств. Функционал I(y) – вещественная функция. y  M – метрическое просранство.

Опр: Элемент y_о  M называется точкой максимума (минимума) функционала если окрестность точки y_о, такая что для всех y этой окрестности I(y) I(y_о) (min) или  I(y) I(y_о)(max)

                      Y₀  M         Это экстримум (локальный)

 

Пример: y(x):  x[a,b] , y(x) – непрерывна, диф. Функция класса C¹

y(a)=A и y(b)=B

                             I(y) =dx – длина графика этой функции I(y)=min, когда y(x) линейная

Будем полагать, что M – линейное пространство.

Уравнение Эйлера.

Лемма: если y_0­M (лин.метр.пр-во) дает экстремум функционалаI(y), тогда если существует,
,  h M, и (y₀ + th)M, а  t 0  то этот предел равен нулю.

 – вариация функционала I(y) в точке (аналог теоремы Ферма)

Доказательство: рассмотрим F(t)=  I(y₀ + ht) { y_0,h – fix}, |t|    

Это вещественная функция т.к. при t=0,  F(0)= I(y₀) – max или min  =>   существует производная – это вариация, а т.к. экстремум = 0 ч.т.д.

=>  Необходимое условие экстремума:  вариация равна нулю.

Будем рассматривать I(y) =          (1)

 

F (t, y, y’) – функция трех переменных (t, y, y’) класса C² (R³)

Это вариационная задача с неподвижными концами

Tеорема: Если y(t) дает экстремум функционала (1) (max или min), y(t)  M, тогда функция y(t) является решением уравнения Эйлера.

Док-во: т.к. существует экстремум =>  (по лемме)  -   h(t) класса C² так что h(a) = h(b) = 0

y(t) + ph(t) – рассмотрим такие функции

Если p→0 => I(y) =0, если y – экстремаль =>

, , , перепишем

 - это (*)

Т.к.    , т.к. h(a)=h(b)=0 =>

 =   =>    т.е. ур-ие Эйлера выполняется, ч.т.д.                 

Распишем ур-ие Эйлера еще раз:

(2) , а если  , а   ур-ие второго порядка

Любое решение ур-ия является подозрительным на экстремум (экстремаль, стационарн. реш.)     

 Пример1:   

I(y) =  ,  y(a) = A  ,  y(b) = B    F =   зависит только от   y’

Из 2 => 0 = 0 + 0 + F”_y’y’()y”  => 0 =  =>  

=> y’ = const

=>   y(t) = kt + d   - линейная ф-ция, т.е. все экстремали                               

Формула Пуассона

Интегральная формула Пуассона.

 - решение задано на D для круга.

x=cos, y=sin. Схема доказательства: переходим в полярную систему координат: . Применяем метод Фурье  - метод разделения переменных. Ищем решение в виде Подставим в  и решаемнаходим R и Ф.

   - а линейная комбинация тоже решение находим через граничные условия =f.

Теорема об устойчивости – формулировка без доказательства

Теорема:

пусть , А- постоянная квадратная матрица! Причем корни  характеристического уравнения  имеют неотрицательные вещественные части. Тогда нулевое решение  системы  - устойчиво по Ляпунову (если все корни строго отриц => асимптотич. устойч.)

Теорема:

пусть ,  - вещественная диф. функция многих переменных , обладающая свойством:

1) функция  - выпуклая и имеет в точке , т.е.  - минимум

2) ,  и  решения  системы (1)

{система(1) }

Тогда нулевое решение  явл. устойч. по Ляпунову!

Система (1):

 n- штук функций, - непрер. диф-ма функция.