Система линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами и её общее решение (все теоремы n-ного порядка), страница 4

(1)  - параболическое ур-е., 0 ≤ x ≤ π, на конеч. промежутке; t ≥ 0

(2)

(3)  U(0,t) = U(π,t)

Применяется метод разделения переменных – метод Фурье.

U(x,t) = T(t)X(x) – попробуем найти решение такого вида.

Подставим T’(t)X(x) = T(t)X’’(x) →

 - const

Кр.усл. → X(0) = X(π)  - задача на собств. значения и собств. Функции, λ – собств. зн. и функции. Оказывается, что  ; x’’ + n²x = 0

,а     →    

→решение пока без условия.

Теперь посчитаем С_n: U₀(x) = =      0 ≤ X ≤ π

т.к. f – нечетная, то U₀(x)=                       -π ≤ X ≤ π

C_n – коэф-ты Фурье, т.к. сход. равномерно, то  С_n=

Рассмотрим другую задачу

(1)= - гиперболическое Ур-е    0 ≤ X ≤ π , t ≥ 0

(2) = U₀(x)                  (3) =U₁(x)                        (4) U(0,t) = U(π,t)

U(x,t) = T(t)X(x)   → T’’(t)X(x) = T(t)X’’(x)  →  =  =  -λ;  λ = n²   → 

→ T’’(t) + n² T(t) = 0  →  T(t) = a_ncos(nt) + b_nsin(nt) , где а_n и b_n – произв. const   →

→ U(x,t) =

t=0 → ,

где 1-находим а_n(коэф. Фурье.) нечетно продолж.  U₀(x)

2- b_n(коэф. Фурье.) нечетно продолж.  U₀(x)  вычисляем, ряды сх-ся

В первом случае: если U₀(x) имеет непр. произв. (в 0 → 0) продолжаем нечетн. обр.

Во втором случае: f – непр. диф-ма , в нуле – ноль  продолжаем нечетн. обр.

мы можем воспользоваться ф-лами для начальной краевой задачи

 Задача Коши для уравнения теплопроводности – доказательство формулы Пуассона ( в многомерном без доказательства)

(1) уравнение диффузии  - параболическое уравнение , ;

(2) начальные условия  - задается это начальным состоянием.

Это задача Коши.

Если функция огранич.существует единственное решение.

Теорема: пусть  - огранич. дважды непрерывно диф-мая функция и производные (первая и вторая) тоже ограничены. Тогда имеет место формула для решения  задачи Коши (1), (2): .

Покажем, что  - да!  формула справедлива, удовлетворяет усл. (2)

Теперь докажем, что она удовлетворяет условию параболического уравнения:

Диф-ем по х: (по частному) = - верно! Всё доказано))

Приложение: Но можно было доказать иначе:

Замена  - Пуассона

Вектор  

Это решение ;  

, если (эволюционные уравнения), где .

Можно рассматривать , где А – линейный оператор и не зависит от t!  - формальное решение задачи Коши.

Метод «сплайн-функции»

На любом откр. промеж. ф-ция – полином, а в точках – так, чтобы ф-ция была непрерывна.

Определитель Вронского и его свойства

Определение: система функций y₁(t), y₂(t),…, y_m(t),  называется линейно зависимой на , если так что . Линейно независимыне удовлетворяет этому условию, все =0.критерий зависимости и независимости: строится определитель Вронского:

Теорема.

Если система функций  линейно зависима на отрезке , то на том же отрезке определитель Вронского равен 0.

Определитель Вронского:

Доказательство:

Дано, что на отрезке , причем не все a_i равны нулю. Дифференцируя тождество (n-1) раз, получим

 . Эта линейная однородная по отношению ко всем a_i система n уравнений имеет нетривиальное решение (так как не все a_i равны нулю) при любом значении t на отрезке . Следовательно, определитель системы, являющийся определителем Вронского, равен нулю в каждой точке t отрезка . Ч.Т.Д.

Теорема.

Если система функций имеет решение не равное нулю, а определитель Вронского не равен нулю, она линейно независима.

Утверждение 1:

Если система функций y₁(t),…,y_m(t) – линейно зависима, то B(t)=0, .

Доказательство:

 и , так как линейно независимы. продифференцируемполучили m равенств. Если фиксируем t, тосистема линейных алгебраических уравнений относительно C_k. Хотя бы одно C_kсистема имеет ненулевое решение C₁, C₂, …, C_n.det (однородной системы)= 0 = B(t), доказано для  (в точке).

Утверждение 2:

Если система функций y₁(t),…,y_m(t) – линейно независима и каждая функция y_k(t) – является решением уравнения (1) }. Тогда B(t).

Доказательство:

Допустим, что так что B(t₀) = 0. Тогда рассмотрим алгебраическую систему уравнений

B(t₀), то есть . Рассмотрим эту систему относительно C_k, так как B(t₀) = 0 так что , - решения этой системы. Рассмотрим y(t)= . (- решение той системы). Будем брать производные и смотреть в  . Эта функция является решением уравнения (1), так как это линейная комбинация по теореме о единственности для задачи Коши эта система функций линейно зависимапротиворечию условиюB(t)=0. Ч.Т.Д.