Теория функций комплексных переменных. Комплексные числа. Алгебраические операции над комплексными числами

ГЛАВА 16

Теория функций комплексных переменных

16.1.    КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.  АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

16.1.1. Определение, основные понятия, формы записи комплексных чисел

          Определение. Комплексным числом z называется пара действительных чисел (x,y), записанных в определенном порядке: z =(x, y). Одним из обозначений служит запись вида

                                                             ,                                                       (1.1)

называемая алгебраической формой записи комплексного числа z. В записи (1.1) x называется действительной,  y– мнимой частями комплексного числа z (для этого употребляется также запись ; i называется “мнимой единицей”.

Рис.1.

Для геометрического изображения комплексного числа z вводят на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy; ось Ox называется действительной, Oy-мнимой осями, а плоскость Oxy – комплексной плоскостью (z). Комплексному числу  можно поставить в соответствие точку  плоскости (z), либо вектор  - и точка и вектор служат геометрическом изображением комплексного числа z - , (рис.1). Модуль вектора  называется модулем комплексного числа z; он определяется по формуле

                                                                                                        (1.2)

Угол  между действительной осью Ox и вектором  называется аргументом комплексного числа z: . Значение , заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента (обозначение –arg z):

                                                                                                             (1.3)

и, следовательно,

                                                                       (1.3¢)

Главное значение аргумента комплексного числа z можно определить по формуле

                                                                 (1.4)

Определение. Запись вида

                                                                                (1.5)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.

          Замечание. Комплексное число z записывается также в показательной форме

                                                         .                                          (1.5¢)

          Для сравнения комплексных чисел  и  вводится лишь операция равенства: комплексные числа  и  равны  если равны соответственно их действительные и мнимые части:  . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: , если модули их равны: , а аргументы связаны соотношением

                                                                                               (1.6)

(следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества).

Рис.2.

Определение. Два комплексных числа  и  называются комплексно-сопряженными числами. Для этого употребляют обозначение  и  (рис.2).

16.1.2. Действия сложения, вычитания, умножения и деления.

Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, то есть как соответствующие действия над векторами (см. рис.3) и, следовательно, выполняются по формулам:

                                           ;                               (1.7)

                                                                                  (1.8)

– чтобы сложить два комплексных числа (например), нужно сложить отдельно действительные и мнимые части, что и будет действительной и мнимой частями суммы чисел. Из формул (1.7) и (1.8) находим

                                                       .                                   (1.9)

          Под произведением комплексных чисел  и  (обозначается ) понимается комплексное число z, равное

                                         .                       (1.10)

Частное комплексных чисел   и  определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле

                                               .                            (1.11)

Практические поступают иначе. Так как по формуле (1.10)  то деление удобно выполнять по следующей формуле:

                                                                                                           (1.11¢)

Так введенные операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

1.   (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3.  (коммутативность умножения);

4.   (ассоциативность умножения);

5.   (дистрибутивность умножения относительно

    сложения).

          Формула (1.10) “раскрывает смысл” мнимой единицы” . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой  на –1.

          Приведем решение “ типовых примеров” на введенные выше понятия.