Теория функций комплексных переменных. Комплексные числа. Алгебраические операции над комплексными числами

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

ГЛАВА 16

Теория функций комплексных переменных

16.1.    КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.  АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

16.1.1. Определение, основные понятия, формы записи комплексных чисел

          Определение. Комплексным числом z называется пара действительных чисел (x,y), записанных в определенном порядке: z =(x, y). Одним из обозначений служит запись вида

                                                             ,                                                       (1.1)

называемая алгебраической формой записи комплексного числа z. В записи (1.1) x называется действительной,  y– мнимой частями комплексного числа z (для этого употребляется также запись ; i называется “мнимой единицей”.

Рис.1.

 
Для геометрического изображения комплексного числа z вводят на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy; ось Ox называется действительной, Oy-мнимой осями, а плоскость Oxy – комплексной плоскостью (z). Комплексному числу  можно поставить в соответствие точку  плоскости (z), либо вектор  - и точка и вектор служат геометрическом изображением комплексного числа z - , (рис.1). Модуль вектора  называется модулем комплексного числа z; он определяется по формуле

                                                                                                        (1.2)

Угол  между действительной осью Ox и вектором  называется аргументом комплексного числа z: . Значение , заключенное в промежутке , называется главным значением аргумента (обозначение –arg z):

                                                                                                             (1.3)

и, следовательно,

                                                                       (1.3¢)

Главное значение аргумента комплексного числа z можно определить по формуле

                                                                 (1.4)

Определение. Запись вида

                                                                                (1.5)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.

          Замечание. Комплексное число z записывается также в показательной форме

                                                         .                                          (1.5¢)

          Для сравнения комплексных чисел  и  вводится лишь операция равенства: комплексные числа  и  равны  если равны соответственно их действительные и мнимые части:  . Равенство чисел, записанных в тригонометрической форме, формулируется следующим образом: , если модули их равны: , а аргументы связаны соотношением

                                                                                               (1.6)

(следует обратить внимание на то, что здесь сравниваются не элементы множества, а сами бесконечные множества).

Рис.2.

 
Определение. Два комплексных числа  и  называются комплексно-сопряженными числами. Для этого употребляют обозначение  и  (рис.2).

16.1.2. Действия сложения, вычитания, умножения и деления.

Действия сложения и вычитания над комплексными числами определяются геометрически, то есть как соответствующие действия над векторами (см. рис.3) и, следовательно, выполняются по формулам:

Подпись: Рис.3.

                                           ;                               (1.7)

                                                                                  (1.8)

– чтобы сложить два комплексных числа (например), нужно сложить отдельно действительные и мнимые части, что и будет действительной и мнимой частями суммы чисел. Из формул (1.7) и (1.8) находим

                                                       .                                   (1.9)

          Под произведением комплексных чисел  и  (обозначается ) понимается комплексное число z, равное

                                         .                       (1.10)

Частное комплексных чисел   и  определяется через действие умножения и может быть проведено по формуле

                                               .                            (1.11)

Практические поступают иначе. Так как по формуле (1.10)  то деление удобно выполнять по следующей формуле:

                                                                                                           (1.11¢)

Так введенные операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:

1.   (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3.  (коммутативность умножения);

4.   (ассоциативность умножения);

5.   (дистрибутивность умножения относительно

    сложения).

          Формула (1.10) “раскрывает смысл” мнимой единицы” . Таким образом, умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры с заменой  на –1.

          Приведем решение “ типовых примеров” на введенные выше понятия.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
346 Kb
Скачали:
0