Функциональные ряды. Основные понятия. Равномерная сходимость функциональных рядов

Г Л А В А 12

ФУНЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

12.1.    ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Ряд                     

                           ,                           (1.1)

членами которого являются функции от x , определенные на множестве D, называется функциональным  рядом. Если числовой ряд  сходится, где , то  называется точкой сходимости ряда (1.1). Множество всех точек сходимости ряда (1.1) называется областью сходимости ряда (1.1). Если существует , где    , , то говорят, что ряд (1.1) сходится на множестве X к S(x). S(x) называется суммой ряда (1.1). На языке “” это можно записать так:

  .

          Для нахождения области сходимости ряда (1.1) можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Ñ Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при  и расходится при . Областью сходимости ряда является интервал .#

Пример. Найти область сходимости ряда .

Ñ Данный ряд является геометрической прогрессией, которая сходится, если .   . Область сходимости ряда – интервал .#

Пример. Найти область сходимости ряда

                                                                                                               (a)

Ñ Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

                                                                                                              (б)

и к нему применим признак Даламбера (теорема 11.4). .   Ряд (б) будет сходиться, если . Тогда ряд (а) будет сходиться, и притом абсолютно в интервале (-4, 0). При  ряд (а) расходится, как не удовлетворяющий необходимому признаку сходимости (следствие из теоремы (11.1)). Если , то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при  и  ряд нужно исследовать особо. При  из ряда (а) получим числовой ряд ,  который сходится (ряд Лейбница) (см. задачу раздела (11.6)). При  из ряда (а) получим - гармонический ряд, который расходится (раздел 11.2). Итак, областью сходимости ряда (а) будет промежуток [-4,0). #

Задачи для самостоятельного решения

Найти область сходимости следующих рядов.

1. .     2. .   3. .   4. .   5. .

6. .   7. .   8. .    9. .   10. .

11. .   12. .   13. .   14. .

15. .  16. .   17. .

18. .   19. .

12.2.    РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ  ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Сходящийся в некотором промежутке X функциональный ряд  называется равномерно  сходящимся в этом промежутке к , если .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Дан ряд (1.1). Если существует такой знакоположительный сходящийся числовой ряд         

                                                                                                                    (2.1)

что , то ряд (1.1) сходится равномерно в промежутке X.  

          Ряд (2.1) в этом случае называется мажорирующим рядом или мажорантой, а ряд (1.1) – мажорируемым сходящимся рядом (2.1).

Пример. Установить равномерную сходимость ряда  на любом отрезке.

Ñ Рассмотрим ряд . Он является знакоположительным, сходящимся (обобщенный гармонический, ). Для  справедливо неравенство

. Это значит, что ряд  мажорируем на , а значит сходится равномерно на любом отрезке.#

Пример. Показать, что ряд  сходится равномерно на [-1,1] .

Ñ Для значений  очевидно . Ряд - знакоположительный, сходящийся и, следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд  сходится равномерно на [-1, 1] .#

Задачи для самостоятельного решения 

          Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость следующих функциональных рядов в указанных промежутках.

20. , .     21. , [-3, 3].    22. .

23. , .   24. , [0, 4].

12.3. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Теорема 2. Если члены ряда (1.1) – функции непрерывные в некотором промежутке X и ряд сходится в этом промежутке равномерно, то сумма его - функция также непрерывная в X.

Теорема 3. Если члены ряда (1.1) –функции непрерывные в X и ряд сходится равномерно в X, то ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке . Иначе говоря: .

Теорема 4. Если  1) ряд (1.1) сходится в некотором промежутке X к S(x);

2)  - функции непрерывные в X. 3) Ряд  сходится равномерно в X, то ряд (1.1) можно почленно дифференцировать в каждой точке промежутка X.

Т.е. .

Пример. Исходя из соотношения,найти сумму ряда .

Ñ Т.к. члены ряда  непрерывны в  и ряд сходится равномерно в этом промежутке по признаку Вейерштрасса (теорема1): , т.е. ряд  мажорируем сходящимся рядом , то ряд  можно почленно интегрировать на , т.е. менять местами символы и

.#

12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Степенным рядом называется ряд вида

                                                              (4.1)

т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Всякий степенной ряд (4.1) сходится в интервале . R называется радиусом сходимости ряда (4.1).

Если R = 0, то ряд (4.1)  сходится только в точке x = 0. Если , то ряд (4.1) сходится на всей числовой оси. Если , то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке  x = 0 .

Более общий вид степенного ряда:

                        .                     (4.2)

Интервал сходимости этого ряда симметричен относительно точки : .

Теорема 5. На всяком отрезке  ряд (4.1) сходится равномерно.

Теорема 6. Степенной ряд (4.1) можно почленно интегрировать на любом отрезке .

Т.о., если  .

Теорема 7. Ряд (4.1) можно почленно дифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

                       .

Пример. Найти сумму ряда

Ñ Обозначим сумму этого ряда через :

Интервал сходимости этого ряда (-1, 1). На основании теоремы 7 его можно почленно дифференцировать в каждой точке интервала (-1, 1):