Элементы векторного анализа. Векторные поля. Интегральные и дифференциальные характеристики векторных полей

ГЛАВА 15

Злементы векторного анализа

15.1.    Векторные поля. Интегральные и дифференциальные

характеристики векторных полей

15.1.1. Векторные линии. Дифференциальные уравнения

векторных линий поля

Определение 1. Векторным полем называется часть пространства (или все пространство), в каждой точке M которого задано какое-либо физическое явление, характеризуемое векторной величиной .

          Если в пространстве введена декартова прямоугольная система координат, то задание вектор - функции поля сводится к заданию трех скалярных функций:

                                 .                  (1.1)

          Простейшими геометрическими характеристиками векторных полей являются векторные линии и векторные трубки.

Определение 2. Векторными линиями поля  называются линии (кривые), в каждой точке M которых направление касательной совпадает с направлением поля в этой точке.

Определение 3. Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (хотя бы и частично) с какой – либо векторной линией.

          Если поле задано формулой (1.1), то уравнение векторных линий дается системой дифференциальных уравнений

                                       .                               (1.2)

Замечание. Методы решения систем (1.2) (систем в симметрической форме) рассматриваются в теории дифференциальных уравнений.

Определение 4. Векторное поле  называется плоским, если в специально подобранной системе координат оно имеет вид:

                                                                              (1.1¢)

          Система уравнений (1.2) для таких полей имеет вид

                                                                                                     (1.2¢)

и, таким образом, векторные линии плоского поля – это кривые, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости Oxy.

Пример 1. Найти векторные поля  (вектор =const; -  радиус вектор точки ).

Решение. Пусть ; тогда

                          .

Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий (1.2):

                                   .

Эту систему решаем методом интегрируемых комбинаций. Для получения интегрируемой комбинации умножим числитель и знаменатель первой дроби на x, второй – на y, третьей – на z ; сложим почленно. По свойству пропорций получим

                             ,

откуда получаем интегрируемую комбинацию: ;  интегрируя ее, получим  - первый интеграл системы. Вторую интегрируемую комбинацию получим, умножая числитель и знаменатель первой дроби на , второй – на , третьей – на ; сложим почленно, получим
                          ;

отсюда  и, следовательно, .
Таким образом система уравнений   определяет искомые векторные линии: это окружности, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора ; плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны указанной прямой.

Пример 2.  Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Решение. Считаем, что проводник направлен по оси Oz, и в этом же направлении течет ток . Вектор напряженности  магнитного поля, создаваемого током, равен , где  - вектор тока,  - радиус вектор точки ;   - расстояние от оси проводника до точки M. Имеем, далее, ,  и уравнение (1.2¢) имеет вид: , , откуда - векторные линии суть окружности с центрами на оси Oz.

15.1.2. Поток векторного поля

1.         Определение потока векторного поля

          Рассмотрим векторное поле , где проекции  - непрерывные функции в некоторой области (V). Возьмем некоторую гладкую (кусочно гладкую) двустороннюю ориентированную поверхность (S) (то есть двустороннюю поверхность с выбранным на ней направлением нормали).

Определение. Потоком П векторного поля  через двустороннюю ориентированную поверхность (S) называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S):

                                               .                                   (1.3)

Здесь - орт нормали к выбранной стороне (S); ds – элемент площади поверхности (S).

Замечание. В случае замкнутой поверхности ее ориентируют, направляя нормаль изнутри области (V) наружу. Сторона с положительным направлением нормали называется положительной стороной поверхности.

          Для потока можно дать следующие записи через поверхностные интегралы первого и второго рода :

          (1.3¢)    

где , ,  - то есть  - проекции площадки   на плоскости Oyz, Oxz, Oxy соответственно.

Пример. Вычислить поток векторного поля - радиус-вектор точки ) через полную поверхность прямого кругового цилиндра с высотой H и радиусом основания R (см. рис.1).

Рис.1.

Решение. Так как поверхность (S) есть объединение поверхностей  и , то поэтому для потока П (по свойству аддитивности) имеем: . На боковой поверхности  нормаль  параллельна плоскости Oxy; следовательно,  и поток   =. На нижнем основании  нормаль параллельна оси Oz: . Тогда  и ; на стороне  нормаль и , т.е.  и .Искомый поток  . Обратим внимание на то, что . Ниже увидим, что это не случайно.

2.         Способы вычисления потока

1°. Метод проектирования. Пусть поверхность (S) задана явным уравнением . В этом случае орт   и . Для потока П получим формулу:

                    .              (1.4)

Замечание 1. При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию  в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекцию  на координатную ось, перпендикулярную плоскости  проектирования.

В формуле (1.4) () – область на плоскости Oxy, в которую проектируется поверхность (S); произведение dxdy берется со знаком +, если угол  между осью Oz и нормалью  острый, и минус, если угол  тупой. Символ  означает, что в подынтегральную функцию вместо z надо подставить .

Замечание 2. Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскости Oxz или Oyz.

Замечание 3. В случае неявного задания поверхности (S)  вектор .

Пример 1. Найти поток векторного поля  через верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках , ,  (см. рис.2).

Рис.2.

Решение. Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки:

,

откуда . Поверхность (S) проектируется на плоскость Oxy в область , . Из условия следует, что нормаль  образует острый угол с осью Oz. Имеем  =; произведение dxdy , берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4)

.

Пример 2. Вычислить поля  через замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндром  и плоскостями , . Положительной стороной (по определению) считаем  внешнюю сторону замкнутой поверхности.

Решение. Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части
(см. рис.3): . В связи с этим .  1 )Для поверхности  z=0 и .

Рис.3.

Тогда . Проекция  поверхности (S) на плоскость Oxy есть полукруг , . С учетом направления нормали  для потока  получим: . Переходя к полярным координатам, найдем .2) Для   и . Поверхность  проектируется на плоскость Oxy в область  () (см.п.1), и поток

=.3)Для ,

 и = . Однозначно поверхность проектируется на плоскость Oyz в область (), ограниченную линиями   .