Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра

1 и 2 теоремы Вейерштрасса

Первая теорема Вейерштрасса : Всякая непрерывная функция , заданная на отрезке , ограничена, т.е. числа m и M такие, что  .

Доказательства: Докажем ограниченность сверху, т.к. снизу аналогично!!!

1) -ограничена сверху, - это надо доказать. Предположим, что это неверно.

2) т.е. , такое что

3) Возьмем , что

4) Меняем получаем последовательность . Выделяем сходящуюся подпоследовательность:

5) т.к. - непрерывная

6) Если в 3) взять n=1 ,  но , противоречие => 2) – не верно т.к. верно1) => теорема доказана для M, а для m – аналогично

Вторая теорема Вейерштрасса: Всякая непрерывная функция, достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. если  , то и , что  а

Доказательство: Только для sup, т.к. inf аналогично. Надо доказать, что, такие что  где . Допустим, такой точки нет, т.е. . Рассмотрим ,  для  по построению и - непрерывна, т.к. 1-непрерывна и разность тоже => -непрерывна => по 1-ой теореме Вейерштрасса она ограничена сверху, т.е. А₁>0, что  , подставим вместо   

Достаточные условия дифференцируемости функции

Теорема:

Пусть функция имеет в области  непрерывные частные производные . Тогда эта функция диф-ма в D.

Доказательство:  сначала докажем для функции двух переменных: . Существуют ,  непрерывные в D.  Надо доказать, что  , где . Рассмотрим

 {т.к. существуют непрерывные производные по х формула Лагранжа о конечных приращениях}-++=+++, где , а . Теперь докажем, что . Т.к. частные производные непрерывны . Поэтому,  ч.т.д.

Теперь докажем для функции трех переменных: . Существуют , ,  непрерывные в D, , где  - это надо доказать!

(по Лагранжу) , где , . Покажем, что , (разделим на  и докажем, что )

Теперь докажем для n: , где . Докажем , где . . Ч.т.д.

Интегралы, зависящие от параметра

Рассмотрим , , , ,  

Опр.: функция  - есть интеграл, зависящий от параметра .

Ех: - это функция. , при a>0 - сходится

Мера Жордана.

Опр.: , - в этом пространстве .

Сетка: строятся точки (узлы):  . Берётся набор .  - точки строятся – узлы. Сначала рассмотрим узлы для n=1- прямая. Чем больше k, тем больше (гуще) сетка. - шаг сетки,  - элемент сетки.

Мера Жордана:

1) Каждый кубик имеет объём - аксиома!

2) Если тело состоит из кубиков объём тела = сумме объемов кубиков.

1. берём минимальную область, состоящую из квадратиков, которая содержит фигуру.

2. берём максимальную область, которая содержится в фигуре.

3.  и смотрим куда стремится (1) и (2). 

Пусть Е – произвольное множество, такое что

1) , и т.ч. , .

2) Берём , т.ч. . Получ.  и - это объёмыисоответственно. возрастает при , убывает при .

Это две монотонные числовые последовательности. , а .

Опр:.: нижняя мера Жордана -  . Верхняя мера Жордана -

Опр.: множество  измеримо по Жордану, если . И мера обозначается

Свойства меры Жордана:

1) мера Е, (Ех: кривая на плоскости). Если Е – множество меры нуль.

2) если

3) пусть  - множества (измеримые) , такие что (). Тогда , - это . Иногда эти свойства объединяют в аксиомы.

Теорема: для того чтобы множество было измеримо по Жордану необходимо и  достаточно, чтобы оно было ограничено, и , где - граница множества Е.

(Граничная точка в любой окрестности точки есть как точки из Е, так и точки не принадлежащие Е)

Следствие: если  и  - непрерывна в D (D – компакт), то график функции  имеет (n+1) меру Жордана равную 0

Множества уровня функций. Градиент.

Рассмотрим функцию , .

Опр.: множество  такое, что , называется множеством уровня функции

(Ex: высота над уровнем моря )

, т.к. функция принимает всего одно значение, а было бы два ex: , окружность, точка, .  - сфера, радиусом - , если

Опр.: вектор функция ,  - градиент функции  и обозначается .

 - это градиент на плоскости.

Векторные(физические) поля – градиенты некоторых функций.

Градиент  плоскости

1) градиент всегда направлен  поверхности уровня (производная)

2) наибольшее изменение функции происходит по направлению градиента  ,  в точке  существует направление.

Докажем эти два факта:

1) будем считать, что прямая  поверхности – значит она плоскости касательной к этой поверхности в этой точке.

Прямая должна (необходимо и достаточно) быть  любой касательной к любой кривой в этой точке – тогда прямая поверхности.

2) Рассмотрим множество уровня: , ,  и при , ,  меняется, а функция =   диф-ем

- касательная к поверхности, причем любой. =0.

Поэтому прямая ортогональна   градиент.

Всегда ортогонален поверхности уровня.

, т.е. , . Подставим : , а для любого другого направление меньше. Поэтому по градиенту изменение.

Определение интеграла Римана для функции многих переменных

 зависит от выбора точки, мелкости разбиения. Диаметр множества - . - наибольший диаметр разбиения.

Определение: , если он существует и не зависит от способа разбиения Е,  и не зависит от точки , то этот предел - интеграл Римана и обозначается символом

Определение кратного интеграла

Мы будем рассматривать функции ,  

1) Е – ограниченное измеримое по Жордану множество Rⁿ

2) , ,

Производная по направлению.

, , . Иногда пишут . ,  - производная по направлению m. производная функция  в точке в направлении .

На плоскости . В пространстве , ,  - это производная по k – ому направлению

Определения