Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра, страница 4

Докажем это (геометр.):{факт: если непрерывная функция в некоторой точке > 0 окрестность где функция > 0}. Пусть выполнены условия теоремы, для опр-сти существует окрестность, где , где окрестности {квадрат, пусть сторона }.  фиксируем, а меняем по прямой параллельной оси, т.к. , т.е. функция растёт существует окрестность где (сверху). Поэтому выбираем наименьший интервал, чтобы выпол. (сверху), (снизу).А вот теперь рассмотрим функцию, не проходящую через  т.к на концах F принимает разные знаки и непрерывна  существует точка  такая, что  поэтому существует

б) m=1, n – любое число.

Справедливо для  любой диф. функции , где , , т.е  - при , тогда . Тогда , т.е. , т.к.  - непрерывна, , заменим частн. произв.  - непрерывна.

2) m=1, n – любое  частная производная непрерывна.

3) общий случай: m и n – любые числа (целые). По методу мат. индукции: (по числу m) . Пусть справедливо для . Запишем матрицу Якоби:   в точке . Якобиан  в точке - определитель. Рассмотри последнюю строку: по крайне мере одно число . Пусть последнее число . Тогда рассмотрим : , а .  по свойству. - частная производная по отлична от 0. Тогда эта функция удовлетворяет условия теоремы m=1 и n=m-1+n. Тогда существует неявная функция , , - имеет непрерывные частные производные. Посчитаем их:   , т.к. производная от 0 равна0. Строим функции  , которые зависят от . В итоге : . Теперь нужно проверить условие о неявной функции. Всё кроме того, что якобиан не равен нулю, понятно!

Докажем что якобиан для Ф . Запишем его: в точке - надо доказать

Докажем, что якобиан не равен 0: , то . Подставим в   - диф-ние сложных функций ().Т.к.  продиф-ем  , где

Определитель матрицы не меняется, если столбцы матрицы умножить на число и прибавить к другому столбцу. Посл. Столбец и прибавим к первому  получим первый столбец матрицы Ф. Со вторым - та же операция. Но, когда к первому столбцу приб. последний (умножен. на   ), то первый столбец для элементов до (m-1) , т.к. совпадает с , а последний элемент =0,т.к. . Тогда разлагается по  последней строке. Подставим , получим  неявную функцию в окрестности.

Теорема о равенстве двойного интеграла повторному

Теорема:

Если  - непрерывна на Е и  функции  - непрерывна на . Тогда существует  - двойной интеграл по Е, и существует повторный интеграл  и они равны, т.е

Доказательство: то, что двойной интеграл существует, доказано (Е=К – компакт измеримый)   существует . Надо доказать, что существует повторный интеграл, и он равен двойному.

Существование:  - непрерывна, если фиксируем х - компакт существует  - всякая непрерывная ограниченная функция. Покажем, что - интегрируема по Риманау. Для этого покажем, что она непрерывна, т.к. любая непрерывная функция интегрируема по Риману.  Замена переменных: ,  меняется от 1 до 0.  - получили. g – это непрерывная функция двух переменных, т.к. , а .

Рассмотрим разность: , ||g – непрерывна, наш прямоугольник – компакт, по теореме Кантора – равномерно непрерывна|| т.е , т.е функция непрерывна при . Всё, F(x) – непрерывна  интегрируема по Риману  повторный интеграл существует.

Равенство интегралов: рассмотрим , - это всё непрерывные функции.  - , - выше (), …

 разбиваем на k частей (). Проведём прямые параллельно OY через точки получаем разбиение , Это разбиение  измеримо по Жордану, .  - площадь кусочка. Вводим , . Рассмотрим повторный интеграл: {т.к. для } . (,- суммы Дарбу для двойного интеграла). Т.к. интегрируема по Риману, то ,  и . Ч.т.д.

Если несколько переменных аналогично:  и т.д. ,  - строго выпуклое множество. Тогда существует .

Теорема Римана

Пусть , - непрерывная функция, тогда  и {интеграл – сумма всех площадей. Они друг друга «гасят» - в пределе – 0.}

Доказательство:  Рассмотрим . По теореме Кантора , . Пусть максимальное разбиение =  и . Тогда . Тогда , . Тогда . Т.е , т.к меняется независимо от m.

Теорема Тихонова

Теорема: пусть - непрерывная функция. И выполнены условия: 1) функция  имеет обратную . Обратная – единственная. 2) метрическое пространство  является компактом. Тогда обратная функция  непрерывна на .