Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра, страница 2

Множество называется открытым, если каждая его точка внутренняя.
Точка называется предельной, если есть хотя бы один элемент множества отличный от этой точки.
Множество называется замкнутым, если это множество содержит все свои предельные точки.
Замкнутое ограниченное множество – компакт.
Ограниченное множество, если множество находится в шаре.
Всякая последовательность имеет конечный предел
Если две последовательности векторов сходятся, то и сумма и разность будут иметь конечный предел.
Полное пространство – всякая фундаментальная последовательность сходится. Евклидово пространство является полным.
Если , , то является вектор - функцией многих переменных. При этом называется множеством определения функции , - множеством значений функции .
Вектор – функция имеет пределом , при . 1) Если , : - по Коши. 2) либо для любой последовательности и - по Гейне
называется непрерывной в точке , если .
называется непрерывной на , если она непрерывна в каждой точке множества .
Функция , называется дифференцируемой в точке , если , где , означает что

Ряды Фурье, коэффициенты Фурье. Формула Фурье.

Функциональные ряды:

Ряд: - это могут быть различные функции, числа, комп. числа…

Функциональный ряд, - функции . Т.е. - последовательность функций. Тогда - функциональный ряд. Если функции не зависят от числовой ряд.

Приложение имеют два типа рядов:

1) степенные , ; если компакт

2) тригонометрические , Это периодические функции ). - это спектр, а - гармоника.

Фактически, интеграл – это сумма ряда.

Главный вопрос о сходимости рассматривают - конечные суммы. последовательность функций – это частичная сумма ряда.

Опр.: ряд (функциональный) называется сходящимся в D, если , существует . Если это так, то пишут: - сумма ряда. Если это не так расходящийся!!! Если два ряда сходятся сходится и их сумма. При изучении этих рядов выявилось, что простой сходимости недостаточно равномерная сходимость.

Опр.: функциональный ряд является равномерно сходящимся в D, если для (независящий от ) такие, что , для и .

Имеют место теоремы (без доказательства):

Если непрерывны и D – компакт, и ряд сходится равномерно - непрерывна.
Если непрерывны и ряд непрерывно сходится на компакте его можно почленно интегрировать
Если - сходится, а - сходится равномерно на =

Запишем тригонометрический ряд: . По теореме Эйлера . Подставим в формулу ряда ряд - если , если , - степенной ряд в комплексной плоскости. Т.е. ряды тригонометрические – это степенные ряды такого типа, когда

Лемма: если тригонометрический ряд (1) сходится равномерно на отрезке к . Тогда имеет место формулы Фурье: ; , а . Это коэффициенты Фурье.

Доказательство:

Коэффициенты ряда (1) – непрерывные функции, т.е. тригонометрический ряд, состоящий из непрерывных функций, и ряд сходящийся равномерно - функция непрерывна, поэтому интегралы и существует. Проинтегрировав ряд почленно: (*).