Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра, страница 3

- непрер., , что и

И ,

Если подставим, то получим, что с одной стороны , а с другой

10. (теорема о среднем)

, , - число . . Тогда , - это всё числа. Если - непрерывна достигается, тогда теорема о среднем

11. Неравенство Коши – Буняковского:

Доказательство: множество интегрируемых функций образует линейное пространство вводим скалярное произведение . А там выполнено неравенство К-Б.: . Если подставим, то получим, то что нужно. Если для , - бывает.

Теорема Гельмгольца

Теорема

Любое непрерывно диф-мое векторное поле можно представить в виде , где (безвихревое), а (потенциальное)

Доказательство: возьмём класса

Положим , а . - это доказано (в утверждениях) – выполнено. Потребуем, чтобы , т.е , т.е - это условие, чтобы теорема была верна. (это дифур второго порядка – уравнение Пуассона (оно имеет решение)). Поэтому теорема Гельмгольца имеет место!

Теорема Дирихле.

Теорема:

Пусть периодическая функция имеет непрерывную производную на . Тогда её ряд Фурье к ней сходится.

Доказательство:

Сначала докажем тригонометрическое тождество: . Рассмотрим

Тождество доказано!

Если проинтегрировать обе части тождества от до , чётная по х это = .

Продолжение доказательства теоремы:

сам ряд , , , - это надо доказать!

(представим коэффициенты Фурье)

(т.к. функция периодич. по zможем х положить (в пределах) = 0, при этом интегралы не изменяются)

. Рассмотрим разность . Если бы была непрерывна то по лемме Римана интеграл . По пр. Лапиталя по z , устремляем ( по теореме Римана)

Теорема Кантора

Теорема: всякая непрерывная функция, заданная на компакте , равномерно непрерывна.

Доказательство: надо доказать, что равномерна, непрерывна. Докажем от противного . Пусть . Выделяем и из второй (причем номера совпадает с номером первой послед.). Докажем, что : рассм. (по нер-ву ) .

Но если подставить противоречие.

Теорема о единственности для гармонической функции

Теорема:

Если , , Функция класса . Тогда в D, т.е .

Доказательство:

1) - формула Грина.

2) Положим , а , где любая функция класса . Тогда 1 имеет вид:

3) В качестве U во 2 берём гармоническую функцию

4) Т.к. интеграл = 0

5) , ,

6) т.к. существуют частные производные

7) т.к. , то

Для трех переменных:

Теорема:

Если , , Функция класса . Тогда в B , т.е .

Доказательство:

1) Ф-ла Гаусса – Остроградского:

2) , , , положим тогда формула

3) В качестве и слева

5) , , ,

7) т.к , то C=0 в B

Теорема о неподвижной точке

Теорема: всякое сжимающее отображение полного метрического пространства М в себя имеет неподвижную точку, и притом только одну.

Доказательство: (методом послед. приближений) (- произвольная точка) и строится

. Докажем - неподвижная точка: (т.к. сжат.) т.е. , где k- любой. Рассм. (т.е. добавили точку и воспользовались неравенством )(воспольз. оценкой) (получим оценку) , что - последовательность фундаментальна, а т.к. пр-во полное . Теперь док-ем, что x-неподвижная точка. Рассм. расст. при , , точка неподвижна. Докажем, что она единственна: и противоречие. Теорема доказана.

Теорема о неявной функции.

, , . Пусть выполнено условие:

1) вектор – функция непрерывно диф-ма в , т.е. , т.е. каждая компонента обладает этими свойствами ( имеет непрерывные частные производные в )

2) существует точка , такая что

3) Определитель м-цы . Тогда существует окрестность точки , такая что в этой окрестности определена единственная непрерывно – диф-мая неявная вектор-функция , т.е