Математика \ Математический анализ

Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Достаточные условия дифференцируемости функции. Интегралы, зависящие от параметра, страница 6

Пусть непрерывно диф-мы в D. Тогда имеет место формула

Доказательство:

Рассмотрим (по формуле Н-Л)= . Аналогично для Q.

Формула Гаусса-Остроградского

Теорема:

Пусть функции P,Q,R – непрерывно диф-мы в . Тогда имеет место формула: ,

Доказательство:

Рассмотрим

{ формула }

…=

Поэтому так и для P, Q

Формула Стокса

Теорема

Если вектор является непрерывно диф-мой, то имеет место равенство , {- покомпонентно}

Доказательство: иначе формулу записывают . Край определяется так: берутся и и подставляются в формулу: , , - всё это . Сначала рассмотрим (по формуле Грина)

В итоге это всё

Аналогично для и : , . Складываем все три интеграла – формула Стокса.

Формула Лейбница

Теорема:

Пусть и - непрерывно диф. на (), а функция - непрерывно диф-ма по , ,

Тогда имеет место формула Лейбница:

Доказательство: рассмотрим функцию , - переменные. Заметим, что - непрерывно диф-ма по обеим переменным. Поэтому , , . Если вместо , а вместо . . Если теперь подставим, то получим формулу Лейбница.

Формула Тейлора

Функция многих переменных в окрестности точки представляется в виде некого полинома + некий остаток. - полином первой степени – однор. - однородный полином второй степени. Обычно симметричная матрица . В общем случае: - формульный полином -степени.

+…+ - это формула Тейлора.

Но можно вычислить, это частные производные: в точке .

Теорема: пусть функция имеет непрерывные частные производные в окрестности точки порядка . Тогда в этой окрестности имеет место формула Тейлора:

где - Формула Лагранжа, , , а

Доказательство:

Рассмотрим функцию . Фиксируем и , и пусть . Предположим, что мало, чтобы лежала в окрестности, где функция имеет непрерывные частные производные. В окрестности точки имеет непрерывные производные F разлагается в ряд Тейлора: . Полагая в этой формуле и подставляя значение получаем нужную нам формулу Тейлора с остатком в формуле Лагранжа.

Замечание:

если формула Маклорена. , , т.е.

, ,

Теперь ,

Например: - разложить в , . , в точке (0,0) это нули. Вторые не смешанные производные тоже в (0,0) нули, и т.д….

Частные производные.

Будем рассматривать только функции (не вектор-функции) , ,

Возьмем внутреннюю точку . Рассмотрим , (,),и - числа. =- смещение.

Рассмотрим 1. . 2. . Если существуют пределы 1 и 2, то они называются частными производными числами функции в точке . Если функция имеет частные производные в любой точке множества E, то она имеет частную производную на множестве Е.

Частные производные высших порядков.

Ех: , и , и . , , ( , т.к сначала по x( справа), а потом по y). , . Это индуктивный порядок. Первых производных – n, вторых – n², третьих – n³,…Частные производные высших порядков определяются индуктивно. Частные производные были определены ранее – это функции. Мы можем говорить о частных производных этих функций – частные производные второго порядка и т.д. . В некоторых случаях смешанные производные высших порядков оказываются равными ( если функция непрерывна).

Теорема: пусть функция , - непрерывна в D и имеет непрерывные частные производные второго порядка и . Тогда

Доказательство: Рассмотрим выражение , , , - это числа, .

Теперь рассмотрим , , Т.к. функция непрерывна, то устремляя и . Ч.т.д.

Пример, когда это не верно:

, одна производная равна 1, а другая (-1).

Следствие: пусть функция имеет в области D непрерывные производные (частные) m – ого порядка (m>1). Тогда любую производную m – ого порядка можно записать в виде: , где и

Докажем это следствие для двух переменных: , где и . По мат. индукции (для двух она доказана) , т.к для m=2 – верно. Пусть для m – верно. Для m+1 надо доказать: , причем , ,