Числове розв’язання нелінійних рівнянь. Відображення множин. Теореми про стискаючі відображення

Розділ 2

Числове розв’язання нелінійних рівнянь

У традиційних курсах математики  найчастіше ставиться задача пошуку точного розв’язку таких рівнянь. Однак у прикладних задачах виникають такі рівняння, коли, як правило, неможливо його знайти .

Якщо обчислювальна техніка дозволяє впоратися з великою кількістю складних рівнянь, то абстрактні методи дозволяють для різноманітних класів рівнянь (таких, як алгебраїчні, диференціальні, інтегродиференціальні і т.д.) знайти загальні підходи до їх розв’язку.

Спробуємо дати уявлення про деякі результати, пов'язані з питаннями існування і побудови розв’язків нелінійних рівнянь. Визначимося з  математичним апаратом, необхідним для обґрунтування чисельних методів розв’язання рівнянь.

2.1 Відображення множин

Бажання охопити якнайбільше рівнянь призводить до необхідності розглядати відображення (функції), за допомогою яких записуються рівняння досить загальної природи, і застосовувати теоретико-множинний підхід. Для цього залучимо поняття відображення однієї множини в іншу, причому із самого початку підкреслимо, що це поняття буде вважатися первинним, що не підлягає формально строгому визначенню (так само, як і поняття числа, точки, множини і т.д.). Інтуїтивний зміст слова "відображення" відбиває наявність відповідності між елементами двох множин (при бажанні можна обмежитися тільки розглядом числових множин).

Нехай: 1) задана (непуста) множина X; 2) задана непуста множина Y; 3) для кожного елемента множини X зазначений один цілком визначений елемент множини Y. У такому випадку будемо говорити про відображення множини X у множину Y.

Інакше кажучи, поняття "відображення" містить у собі нероздільний опис двох множин X (область визначення відображення), Y (область значення) і опис правила (способу, закону), за яким для кожного елемента х з множини X задається певний елемент у з множини Y, у який елемент х відображається.

Закон (правило) відповідності, за яким для кожного елемента області визначення множини відображення X задається рівно один елемент області значень Y, позначимо буквою f. Тоді відображення множини Х у множину Y можна записати так (це позначення прийняте в сучасній математиці):

 чи   .                     (2.1)

Елемент y є Y, у який при даному відображенні (2.1) переходить елемент х є X, називається образом елемента х (чи значенням відображення на елементі х) і позначається символом f(x). Часто, коли ясний вибір множин X і Y, для розглянутої функції використовується позначення  f.

  З'ясувавши зміст поняття "відображення", можна дати визначення функції: функцією називаєтьсяоднозначне відображення однієї множини чисел в іншу множину чисел. Таким чином, функція — той окремий випадок відображення, коли область визначення й область значень є числовими множинами.

2.2 Розв’язок рівнянь і нерухомі точки відображень

Одна з простих теорем існування розв’язку формулюється так:

Теорема 1 Нехай f: [а, b] ® R — неперервна на відрізку   [а, b] функція і f(a)f(b)< 0 (тобто на кінцях відрізків вона набуває значення різних знаків), тоді рівняння

f(x)=0                                                  (2.2)

 має на відрізку [а, b] хоча б один розв’язок.

Теореми існування, як правило, формулюють як теореми існування нерухомих точок відображень.

Нехай f: X® X— деяке відображення множини Х в себе. Елемент х₀ з X називається нерухомою точкою відображення f, якщо має місце рівність f(x₀) = х₀.

  Якщо f: [а, b] ® R — функція, що задовольняє умови теореми 1, то розглянемо на відрізку [а, b] функцію   F(x) = lf(x)+х, де параметр l виберемо так, щоб усі значення функції F належали відрізку [а, b]. Наприклад, можна покласти l=М/m,

де М=maxf(x)=f(x₂) і m = min f(x) = f(x₁),

 ^{xє[a,b]                                     xє[a,b]}

x₁ і x₂ — точки з відрізка [а, b], у яких досягаються мінімум і максимум функції f відповідно.

Безпосередньо з вигляду функції F випливає, що х₀ — розв’язок рівняння (2.2) тоді і тільки тоді, коли х₀ — нерухома точка для функції f. Таким чином, теорема 1 еквівалентна  теоремі, що формулюється у вигляді принципу нерухомої точки.

Теорема 2 Неперервне відображення F відрізка в себе має нерухому точку.

Аналогічно задачу про можливість розв'язання систем рівнянь з кількома невідомими можна звести до питання існування нерухомої точки відображення багатомірного куба (чи кулі) у себе.

Крім проблеми існування нерухомої точки, виникає природне запитання про способи її наближеного обчислення. У наступній теоремі одночасно вирішуються обидві проблеми.

Теорема 3 Нехай j: [а, b] ® [а, b] — функція, що задовольняє умову: існує число q з інтервалу (0,1) таке, що

                    (2.3)

для всіх чисел х₁,х₂ з [а, b]. Тоді функція j має єдину нерухому точку x^*є[а, b], що є границею послідовності х₀, х₁,х₂,..., де х₀ — довільна точка з [а,b], а інші члени послідовності визначаються за правилом: