Абсолютная величина и норма матрицы. Предел матрицы

§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы

      Неравенство

                                                                                       (1)

Между матрицами  и  одинаковых типов обозначает, что

                                                                                         (2)

В этом смысле не всякие две матрицы сравнимы между собой.

         Под абсолютной величиной (модулем) матрицы  будем понимать матрицу

где  – модули элементов матрицы .

         Если  и  – матрицы, для которых операции  и  имеют смысл, то:

  а)

  б)

  в)

(  - число).

         В частности, получаем:

 ( - натуральное число).

Под нормой матрицы  понимается действительное число , удовлетворяющее  условиям:

а) причем  тогда и только тогда, когда =0;

б) (  - число ) и, в частности, ;

в)

г)

( и  - матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл). В частности, для квадратной матрицы имеем:

где - натуральное число.

         Отметим еще одно важное неравенство между нормами матриц  и  одинакового типа. Применяя условие в), будем иметь:

Отсюда

Аналогично

Следовательно,

         Назовем норму канонической, если дополнительно выполнены условия:

         д) если  то

причем для скалярной матрицы  имеем

         е) из неравенства  (А и В – матрицы ) следует неравенство

В частности, .

В дальнейшем для матрицы   произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы:

         1)    (m – норма);

         2)     (- норма);

         3)  (- норма).

         П р и м е р. Пусть

Имеем:

§ 9. Предел матрицы

    Пусть имеется последовательность матриц

                                                              (1)

oдного и того же типа

Под пределом последовательности матриц  понимается матрица

                                                            (2)

Последовательность матриц, имеющая предел ,называется сходящейся.

 Л е м м а 1. Для сходимости последовательности матриц к матрице  (к =1,2,…) к матрице А необходимо и достаточно, чтобы

                                     при                           (3)

где любая коническая норма матрицы А. При этом

         Действительно, если

то

  при  

Отсюда

где I – матрица типа , все элементы которой равны единице.

В силу свойств нормы имеем:

  при  

следовательно,

         Обратно, пусть выполнено условие (3). Тогда при  имеем:

и, следовательно,

т. е.

Кроме того, если  то имеем:

Поэтому

         С л е д с т в и е. Последовательность  при  тогда и только тогда, когда

где  какая-нибудь каноническая норма.

         Легко убедиться, что если

  и   

то:

         a)

         б)

         в)

в предложении, что соответствующие операции имеют смысл. В частности, если  – постоянная матрица такая, что возможны перемножения  и  то

и

         Л е м м а 2. Для сходимости последовательности матриц    необходимо и достаточно, чтобы был выполнен обобщенный критерий Коши, а именно: для всякого  должен существовать такой номер   что при

где  - любая каноническая норма.