Застосовуючи формулу Тейлора, одержимо
0 = f(x)= f(xn) + f¢(xn)(x - xn)+, (2.24)
де x<cn<xn. Оскільки f²(x)>0, маємо
і отже, , що і потрібно було довести.
З огляду на знаки f(xn) та f¢(xn), маємо xn+1<xn (n=0,1,…), тобто послідовні наближення x0,x1,…,xn,…утворять обмежену монотонно спадну послідовність. Отже, існує .
Переходячи до границі в рівності (2.22), будемо мати
,
тобто f()= 0. Звідси =x, що і потрібно було довести.
Тому, застосовуючи метод Ньютона, варто керуватися таким правилом: за вихідну точку x0 вибирається той кінець інтервалу (а,b), якому відповідає ордината того самого знака, що і знак f²(x).
Зауваження. З формули (2.22) бачимо, що чим більше числове значенняf¢(x) в околі кореня, тим меншою є поправка, яку треба додати до попереднього наближення, щоб отримати наступне. З цієї причини метод Ньютона особливо зручний тоді, коли в околі кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж f¢(x) біля кореня – мала, то застосовувати даний метод не рекомендується.
Для оцінки похибки n-го наближення xn можна скористатися формулою
, (2.25)
де m1 найменше значення ½f¢(x)½ на відрізку [a,b].
Виведемо ще одну формулу для оцінки точності наближення xn.
Застосовуючи формулу Тейлора, маємо:
, (2.26)
де xn-1Î (xn-1, xn). Оскільки з визначення наближення xn маємо
, то з (2.26) знаходимо: де М2 – найбільше значення ½f² (x)½ на відрізку [a,b]. Отже, на підставі формули (26) остаточно одержуємо
(2.27)
Якщо процес збігається, то xn-xn-1 ®0 при n®¥. Тому при n³N маємо тобто «усталені» початкові десяткові знаки наближень xn-1 і xn, починаючи з деякого наближення, є правильними.
Зауважимо, що в загальному випадку збіг з точністю до eдвох послідовних наближень xn-1 і xn зовсім не гарантує, що з тією самою точністю збігаються значення xn і точний корінь x.
Проаналізуємо абсолютні похибки двох послідовних наближень xn і xn+1. З формули (2.24) одержуємо
,
де cnÎ(xn,x). Звідси, з огляду на формулу (2.22), будемо мати
і, отже,
. (2.28)
Формула (2.28) забезпечує швидку збіжність процесу Ньютона, якщо початкове наближення x0 таке, що . Зокрема, якщо і , тобто наближення xn мало m правильних десяткових знаків після коми, то наступне наближення xn+1 буде мати не менше 2m правильних знаків; іншими словами, якщо , то за допомогою методу Ньютона число правильних знаків після коми шуканого кореня x подвоюється на кожному кроці.
Приклад. Знайти корінь рівняння з точністю
1 Це рівняння має один корінь на (f(0)f(1))<0)
Знайдемо похідні
.
2 Вибираємо початкове наближення кореня так, щоб Обираємо , тому що .
3 Будуємо ітераційну послідовність
4 Обчислення припиняємо , тому що , і за наближене значення кореня з точністю беремо
//Метод Ньютона. Вважаємо, що умова збіжності методу перевірена
f(x):
//повертає значення функції для даного х
end
f1(x):
//повертає значення першої похідної функції для данного х
end
f2(x):
//повертає значення другої похідної функції для даного х
end
//a,b – границі відрізка, eps – точність розв’язку
Solve_Nonlinear(a,b,eps):
1 if f1(a)<f1(b) then
2 min:=abs(f1(a))
3 else
4 min:=abs(f1(b))
5 fi
6 if f2(a)>f2(b) then
7 max:=abs(f2(a))
8 else
9 max:=abs(f2(b))
10 fi
11 fault:=sqrt(2*min*eps)
12 if f(b)*f2(b)>0 then
13 x:=b
14 else
15 x:=a
16 fi
17 repeat
18 n++
19 if n>1 then
20 x:=xn
21 fi
22 xn:=x-f(x)/f1(x)
23 until abs(xn-x)<=fault
24 return x
end
2.8 Обумовленість задачі визначення кореня
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.