Методы проверки гипотез о законах распределения и параметрах законов распределения (Раздел 7 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных"), страница 4

                                                .                            

Нормированные случайные величины  связаны между собой линейным соотношением

                           .       

На основании этого утверждаем, что случайная величина  будет приближённо следовать хи-квадрат (c2) распределению. Если эту случайную величину принять за показатель согласованности гипотезы, то получим равенство

                                            .              (7.1.9)

Преобразуем выражение (7.1.9), учитывая, что

                                                      

и 1– pl » 1 при больших значениях n:

                                 (7.1.10)

или

                                                                           (7.1.11)

Выражения (7.1.10) или (7.1.11) используются в зависимости от формы представления результатов наблюдения, т.е. в зависимости от того, являются ли исходными данными  или ml.

Как известно, распределение c2 зависит от числа степеней свободы f = rs,  равного числу интервалов r минус число независимых условий (связей), наложенных на частоты . В формуле (7.1.10) предполагается наличие только одного условия

                                                       ,                        (7.1.12)

которое накладывается всегда. Тогда принимаем s = 1 и число степеней свободы  f = r – 1. Равенство (7.1.12) есть сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу.

В случае, когда теоретическое распределение подбирается так, чтобы совпадали его математическое ожидание и оценка математического ожидания, полученная по результатам наблюдения, т.е.

                                                    ,                                

число связей увеличивается на единицу. Следовательно, s = 2  и число степеней свободы  f = r – 2. Если условие совпадения параметров теоретического и статистического распределения распространяется и на дисперсию

                                             ,                         

то s = 3,  f = r – 3  и т.д.

Таким образом, число степеней свободы распределения c2 зависит при проверке гипотез от условий проведения проверки, что необходимо учитывать, используя показатель согласованности гипотезы (7.1.13) или (7.1.14).

Можно показать, что при невыполнении гипотезы H0 по мере возрастания n значение показателя согласованности  будет неограниченно увеличиваться, т.е. кривая распределения  сдвинута относительно кривой  вправо. Поэтому в соответствии с рекомендациями предыдущего раздела в качестве критической целесообразно выбрать правостороннюю критическую область, рис.7.3.

Рис.7.3. Правосторонняя критическая область

В этом случае для определения критической границы ua можно использовать приложение 7, в котором даны критические точки распределения c2 в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы  f.

Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения состоит в следующем.

1. Назначается уровень значимости a, и по таблице критических точек распределения c(приложение 7) определяется критическая граница ua. Входами в таблицу служат уровень значимости a и число степеней свободы  f.

2. Результаты эксперимента представляются в виде интервального статистического (вариационного) ряда (табл.4.5), в котором ml и  – число и частота попаданий исследуемой величины  в l-й интервал () соответственно.

3. Вычисляются вероятности pl попадания случайной величины , которая подчиняется гипотетическому закону распределения, в l-й разряд:

                                   ,               

где  – плотность распределения гипотетического закона. Очевидно, что должно выполняться условие

                                                       .

4. Рассчитывается значение u показателя согласованности гипотезы по формуле (7.1.10) или (7.1.11).

5. Проверяется условие u £ ua. Если оно выполняется, то расхождение между экспериментальными данными и гипотезой H0 полагается незначительным. В противном случае нулевая гипотеза отвергается.