Постоянный электрический ток. Закон Ома для цепи с распределенными пара­метрами

Лекция 7

Постоянный электрический ток

7.1.   Основные определения

              Ранее было показано, что электрические заряды в проводнике могут оставаться неподвижными лишь при условии отсутствия электрического поля. Снятие требования неподвижности зарядов приводит к возможности существования электрического поля в проводниках. Если не принять дополнительных мер, движущиеся под действием этого поля свободные носители зарядов постепенно накопятся на границе проводника и своим полем скомпенсируют исходное поле. В результате объем проводника станет эквипотенциальным. Для поддержания постоянной разности потенциалов необходимо организовать постоянный перенос накапливающихся на участке границы проводника зарядов на те участки, где возникает их недостаток. Именно эту функцию выполняет источник ЭДС, без наличия которого постоянный электрический ток в проводнике невозможен.

              Для количественной характеристики  вызванного электрическим полем направленного движения свободных носителей зарядов в проводнике вводится вектор плотности электрического тока j (7.1), определяемый произведением концентрации носителей, переносимого ими заряда и средней скорости их направленного движения. В случае наличия в проводнике нескольких типов различных носителей полная плотность тока вычисляется как векторная сумма плотностей токов, создаваемых частицами каждого сорта.

              Другой важной количественной характеристикой является сила тока, определяемая как поток вектора плотности тока через рассматриваемое сечение проводника (7.2). Используя определение для плотности тока (7.1), легко показать, что сила тока численно равна заряду, переносимому через рассматриваемое сечение проводника за единицу времени.

              С помощью введенных величин оказывается возможной компактная математическая запись закона сохранения электрического заряда. Действительно, скорости изменения заряда Q_V в каком-либо объеме V равна по величине и противоположна по знаку суммарной величине заряда Q_j , переносимого свободными носителями через его замкнутую границу за единицу времени. Последняя, очевидно, определяется потоком вектора плотности тока через замкнутую поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем (7.3). Применение интегрального соотношения (7.3) к физически бесконечно малому объему, стандартным способом приводит к его дифференциальному аналогу (7.4).

7.2.   Закон Ома для цепи с распределенными  пара­метрами

              В общем случае протекающий по проводнику электрический ток является сложной функцией от приложенного электрического поля и состояния самого проводника. Начнем с рассмотрения простейшей ситуации модельного проводника, в котором концентрация свободных носителей  постоянна, а их направленное движение может быть адекватно описано на языке классической механики. В уравнении движения носителя заряда (7.5) учтем наличие обусловленных внешним электрическим полем сил, а так же сторонних сил, связанных с другими взаимодействиями (в качестве сторонних сил в реальных электрических цепях чаще всего выступают магнитные силы и обусловленные химическими процессами силы, имеющие электромагнитное происхождение). Если бы в однородном проводнике присутствовали только указанные силы, его свободные носители двигались бы равноускоренно и электрический ток возрастал бы во времени по квадратичному закону. Опыт же показывает, что в подавляющем большинстве проводящих сред при наличии постоянной разности потенциалов возникает постоянный электрический ток, возможный лишь в случае независящей от времени средней скорости движения носителей. В рамках феномелогической теории проводимости приходится ввести дополнительную диссипативную силу, описывающую отвод энергии от разгоняемых внешним полем и сторонними силами зарядов. Представляется вполне разумным считать эту силу линейной функцией скорости (если, например, потери энергии обусловлены столкновениями носителей с другими объектами, частота этих столкновений  действительно может быть пропорциональной скорости направленного движения). Введенный в рассмотрение коэффициент вязкого трения h может быть выражен через принципиально измеряемое на эксперименте время релаксации t, определяющее скорость затухания направленного движения (тока) при отключении поддерживающих его внешних полей (7.6).