Система уравнений Максвелла. Гипотеза Максвелла. Ток смещения, система Максвелла для поля в веществе

Лекция 14

Система уравнений Максвелла

14.1.   Гипотеза Максвелла

              После открытия Фарадеем закона электромагнитной индукции система уравнений (14.1), описывающих электромагнитное поле, потеряла свой симметричный вид, который существовал в электростатике и магнитостатике. Еще более существенным недостатком приведенной системы уравнений является ее несовместность с законом сохранения электрического заряда (7.4). Действительно, тождественное равенство нулю дивергенции ротора магнитного поля с учетом закона сохранения заряда приводит к явно противоречащему здравому смыслу (и результатам экспериментов) выводу о невозможности изменения плотности заряда во времени (14.2).

              Для устранения указанного противоречия Максвелл видоизменил уравнение для ротора магнитного поля. Из бесчисленного множества способов изменить систему уравнений он выбрал тот, который в случае отсутствия источников поля делал систему (14.1) почти полностью симметричной. Идея состояла в добавлении в правую часть уравнения для ротора магнитного поля дополнительного слагаемого (14.3), подбираемого так, чтобы ее дивергенция, как и дивергенция левой части, тождественно обращалась в нуль (14.4). В результате система уравнений для электромагнитного поля приняла вид, сохранившейся в классической физике до настоящего времени (14.5). Интегральная форма системы уравнений Максвелла для вакуума имеет вид (14.6). Следует отметить, что даже в случае отсутствия источников поля (Q=0, I=0) система уравнений максвелле не является полностью симметричной: в уравнениях для роторов электрического и магнитного полей правые части содержат различные знаки.

              Т.о. идея Максвелла сводилась к предположению о том, что наряду с токами вихревое магнитное поле может порождаться переменным электрическим полем подобно тому, как вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным.

Пример 14.1. Поле в конденсаторе, подключенном к переменной ЭДС

Рассчитать электрическое м магнитное поле в плоском конденсаторе, обкладки которого имеют форму дисков, если к нему подключен источник переменного тока и заряды на обкладках изменяются по гармоническому закону.

Решение:     

              В нулевом приближении электрическое поле внутри конденсатора однородно и изменяется во времени по тому же законе, что и заряд на его обкладках (14.7).

              Переменное электрическое поле, согласно гипотезе Максвелла, порождает вихревое магнитное поле, циркуляция которого определяется скоростью изменения потока вектора E. Симметрия системы позволяет легко установить конфигурацию магнитного поля и выбрать соответствующий ей  контур интегрирования (14.8).

              В соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. При вычислении его циркуляции удобен прямоугольный контур, проходящий по оси конденсатора и его двум обкладкам. На перечисленных участках индуцированное магнитным полем электрическое поле отсутствует: на оси конденсатора амплитуда переменного магнитного поля равна нулю, т.е. отсутствует причина, порождающая вторичное электрическое поле, в проводящих обкладках конденсатора электрическое поле существовать не может. (Последнее утверждение не совсем строго и обосновывалось только для электростатических полей. В случае переменного во времени поля не очень высоких частот оно так же выполняется с хорошей точностью.) Дополнительное электрическое поле оказывается направленным противоположно исходному и квадратично возрастает с расстоянием от оси симметрии системы (14.9). Т.о. существует такое расстояние от оси, на котором нулевое и первое приближения для электрического поля в сумме дают нуль.