Цепи переменного тока. Элементы линейных цепей. Электрические процессы в колебательном контуре

Лекция 13

Цепи переменного тока

13.1.   Элементы линейных цепей

              В широком смысле под цепями переменного тока понимают такие электрические цепи, в которых ток и напряжение как-то изменяются во времени. Иногда, говоря о переменном токе или напряжении, подразумевают величины, изменяющиеся во времени по гармоническому закону.

              Ограничимся рассмотрением линейных цепей, которые состоят только из элементов, для которых связь между током и напряжением дается линейными соотношениями. К ним относятся сопротивления (резисторы), конденсаторы (емкости), катушки (индуктивности) и трансформаторы (13.1).- (13.4). Элементы двух последних типов не должны содержать ферромагнитных сердечников, наличие которых сразу же делает их заведомо нелинейными.

              Для цепей переменного тока выполняются два закона Кирхгофа. Утверждение о равенстве алгебраических сумм токов, втекающих в узел и вытекающих из него, является следствием закона сохранения заряда и не претерпевает каких-либо изменений  в случае токов, изменяющихся во времени. Что же касается второго закона Кирхгофа, то в общем случае он должен быть видоизменен, поскольку наличие переменного магнитного поля должно приводить к возникновению дополнительных ЭДС в каждом контуре. Однако на практике они оказываются существенно меньшими по сравнению с ЭДС, возникающими в катушках и трансформаторах. Кроме того, при необходимости, эти ЭДС могут быть включены в рассмотрение введением в схему дополнительных эффективных элементов с сосредоточенными параметрами..

              Из линейности соотношений, связывающих мгновенные значения токов и напряжений на рассматриваемых элементах цепей и линейного характера законов Кирхгофа,  следует, что линейные электрические цепи могут быть описаны при помощи систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При этом в случае отсутствия сигналов, подаваемых извне, система уравнений оказывается однородной. Электрические цепи, на которые подается внешний сигнал (обычно - разность потенциалов, изменяющаяся во времени по заданному закону), описываются неоднородными системами уравнений.

Пример 13.1.     Реальный колебательный контур

Записать систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в реальном колебательном контуре, провода которого имеют  ненулевое  сопротивление, а конденсатор обладает конечным сопротивлением утечки. Входящая в колебательный контур катушка используется для возбуждения в нем колебаний через трансформаторную связь.

Решение:     

              Эквивалентная схема описанного в условии колебательного контура приведена на рис.13.1. Резистор r введен для учета сопротивления соединительных проводов и катушки индуктивности, R -описывает сопротивление утечки на конденсаторе. Для реального контура обычно выполняется условие r<<R.

              Систему уравнений удобно составить, разбив электрическую цепь на два замкнутых контура с общим участком, содержащим сопротивление R и воспользовавшись законами Кирхгофа (13.5). В результате получается неоднородная система из трех линейных дифференциальных уравнений, правая часть которой содержит известную функцию, пропорциональную производной подаваемого на схему от внешних источников тока i₀(t) (13.6).