Цепи переменного тока. Элементы линейных цепей. Электрические процессы в колебательном контуре, страница 2

              В случае отсутствия внешнего сигнала говорят о собственных электрических колебаниях в контуре. Очевидно, что этим процессам соответствует общее решение однородной системы (13.6), которое может быть найдено по общей схеме решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, рассмотренной в Лекции 11. Подстановка пробного решения в виде вектора, экспоненциально зависящего от времени (13.7) приводит к характеристическому уравнению (13.8), которое введением переобозначений (13.9) приводится к стандартному уравнению колебаний гармонического осциллятора с затуханием (13.10).  Сходство уравнений, описывающих электрические процессы в колебательном контуре с уравнением колебаний маятника сделало возможным создание часов, роль маятника в которых выполняет колебательный контур. Из-за того, что частота электромагнитных колебаний в контуре легко может быть сделана на несколько порядков большей, чем характерные для частот механических колебаний значения, точность электрических часов оказывается существенно более высокой, чем у механических.

13.2.   Электрические процессы в колебательном контуре

              Уравнение затухающих гармонических колебаний столь часто встречается в самых различных разделах физики, что представляется полезным кратко остановиться на возможных типах его решения. В частности, такое уравнение получается из закона Ома для замкнутой цепи в случае “классического” колебательного контура (13.11). Точно такое же уравнение (с точностью до несущественных переобозначений) было получено при анализе более приближенной к реальности схемы колебательного контура, учитывающей наличие сопротивления утечки у конденсатора (13.10).

              Соответствующее дифференциальному уравнению второго порядка (13.11) характеристическое уравнение оказывается квадратным и имеет два корня (13.12). Общее решение исходного уравнения представляет собой линейную комбинацию двух линейно независимых решений, зависящую от двух произвольных констант. Для нахождения последних необходимо задание двух начальных условий (например, заряда на конденсаторе и тока в цепи в начальный момент времени).

              В зависимости от соотношения параметров контура возможно три качественно отличающихся друг от друга типа процессов в нем.

              При малых значениях сопротивления (потери на джоулево тепло невелики) корни характеристического уравнения оказываются комплексными, величина заряда на конденсаторе и ток в контуре совершают затухающие гармонические колебания (13.13). В предельном случае R=0 колебания становятся незатухающими, т.е. истинно гармоническими. В реальном контуре (даже изготовленном из сверхпроводящих материалов) колебания всегда оказываются затухающими: даже при отсутствии тепловых потерь остается еще один канал рассеяния энергии - электромагнитное излучение. Частота затухающих колебаний зависит от величины затухания: при увеличении потерь частота убывает.