Постоянный электрический ток. Закон Ома для цепи с распределенными пара­метрами, страница 3

Пример 7.2.     Объемные токи.

Рассчитать электрическое сопротивление между обкладками цилиндрического конденсатора, заполненного однородным слабо проводящим диэлектриком с проницаемостью e и удельной проводимостью s . Геометрические размеры конденсатора считать известными, краевыми эффектами пренебречь. Обобщить полученный результат на случай конденсатора произвольной формы. Найти закон убывания заряда конденсатора из-за утечки зарядов через слабо проводящий однородный диэлектрик.

Решение:           

Мысленно зарядим внутреннюю обкладку конденсатора положительным зарядом Q, а внешнюю - таким же отрицательным зарядом. Электрическое поле между обкладками определяется по теореме Гаусса для диэлектриков (7.13). Соответствующая ему разность потенциалов между обкладками находится в результате элементарного интегрирования (7.14).

              Для вычисления полного тока, протекающего между обкладками, мысленно  проведем вспомогательную цилиндрическую поверхность, соосную с конденсатором. Полный ток через нее определяется потоком вектора Е и в случае однородного диэлектрика может быть вычислен без конкретного интегрирования (7.15). Отношение найденной разности потенциалов к полному току дает искомое сопротивление (7.16).

              Как нетрудно заметить, в случае однородного диэлектрика, заполняющего пространство между проводниками произвольной формы, сопротивление между последними определяется параметрами диэлектрика и величиной их взаимной емкости (7.17). В случае если к первоначально заряженным проводникам, помещенным в проводящую среду, заряды не подводятся извне, из закона сохранения заряда следует экспоненциальный характер разряда образованного проводниками конденсатора (7.18). Характерное время убывания заряда определяется только свойствами проводящей Среды и не зависит от геометрии конденсатора.

7.3.   Электрический ток в цепях с сосредоточенными

параметрами

              На практике часто встречаются ситуации, в которых электрический ток протекает по достаточно тонким проводам, свойства которых можно считать постоянными по поперечному сечению. Сопротивление таких однородных участков в соответствии с соотношениями  (7.10) и (7.11) может быть вычислено по хорошо известной из школьного курса формуле (7.19).