Анализ возникновения структурного шума. Решение системы линейных алгебраических уравнений, формирование вектора правой части при линейной нагрузке, страница 2

        Решение уравнения (1.2) в прямоугольной (декартовой) системе координат удобно искать в виде экспоненциальных функций, в цилиндрической системе – в виде функций Бесселя, в сферической – в виде полиномов Лежандра.

        Простейшим случаем волнового уравнения является одномерный вариант прямоугольной системы координат. Пусть в этом случае плоская волна распространяется вдоль координаты х. Тогда волновое уравнение принимает вид:

                                                             (1.6)

где Р – функция только координаты х.

        Мы ограничимся рассмотрением решения только этого случая волнового уравнения, имея ввиду, что основные результаты справедливы и для более сложных координатных ситуаций. Учитывая принятую выше зависимость Р от t в виде , решение уравнения (1.6) можно представить в виде:

                P(t, x)=P=P                        (1.7)

Где Р – амплитуда звукового давления,  - его фаза.

        Мгновенное распределение амплитуды Р вдоль оси х можно определить вещественной частью множителя , т. е. сos(kx). Расстояние между ближайшими точками этого распределения с одинаковой фазой, например максимальными значениями амплитуды Р, называется длиной волны l.

        Направление распространения амплитуды волны вдоль координаты х можно проследить с помощью фиксированного постоянного значения фазы . Если в значении фазы перед kx стоит знак «+», то по прошествии некоторого времени Dt для сохранения постоянства фазы координата х должна быть уменьшена. Иными словами, в этом случае волна перемещается в сторону отрицательных значений координаты х. При знаке «-» перед kx постоянство фазы сохраняется при увеличении координаты х. Следовательно, волна перемещается при этом в положительном направлении.

        Таким образом, множитель  означает волну, распространяющуюся в сторону положительных значений координаты, множитель  определяет волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

        При распространении волны давления каждый элемент среды претерпевает периодические сжатие и расширение. Очевидно, что граничные поверхности этих элементов совершают также периодические ( с той же частотой) перемещения вдоль направления распространения волны. Таким образом, при распространении звуковой волны частицы среды совершают периодические перемещения с некоторой колебательной скоростью v(t, x). Значение этой скорости в общем случае определяется уравнением

               .                                 (1.8)

где r - плотность среды; grad – дифференциальный оператор; для плоской волны, распространяющейся вдоль координаты х, grad p(x)=¶/¶x.

        Следовательно, для этого простейшего случая

                                                    (1.9)

        Величина grad Р называется градиентом звукового давления, так как он определяет перепад звукового давления между соседними точками среды. Колебательная скорость v(t, x) также удовлетворяет волновому уравнению, т. е.

                                                             (1.10)

где V – функция координаты.

        Значение v(t, x) равно

                     v(t, x)=V*,                               (1.11)

где V – амплитуда колебательной скорости.

        Из уравнений (1.9) и (1.11) следует соотношение

                         ,                                         (1.12)

из которого видно, что для получения информации о звуковом давлении можно использовать измеритель колебательной скорости v.  Знак перед v выбирается в соответствии с направлением распространения волны.

        Величина rс называется акустическим сопротивлением среды.

        Из уравнения (1.12) следует также часто используемая электромеханическая аналогия, согласно которой колебательная скорость v аналогична электрическому току, звуковое давление Р – электрическому напряжению, а акустическое сопротивление rс – электрическому сопротивлению. С учетом сказанного легко заметить, что уравнение (1.12) аналогично закону Ома.

        Практически важной характеристикой звуковой волны является количество энергии, заключенной в единице объема среды. Эта величина, называемая плотностью энергии w, равна