Лекція 10
Інтеграли по поверхні
План:
10.1. Потік рідини через поверхню. Інтеграл по поверхні.
10.2. Обчислення інтегралів по поверхні.
10.3. Приклади.
10.4. Теорема і формула Стокса.
10.5. Формула Остроградського-Гауса.
10.6. Запитання для самоперевірки.
Українсько-російський словник вжитих в лекції слів, які в мовах мають різне звучання.
Течія – течение Виклад – изложение Нестислива – несжимаемая Обумовлене – обусловленное Розташованих – – расположенных Досить – достаточно З погляду – с точки зрения Реальний – действытельный Вважається – считается Дотична – касательная |
Напрямний – – направляющий Одержана – полученная Звернена – обращена Позитивний – – положительный Варто – стоит Передбачається – – предусматривается Твірні – образующие Відбувається – происходит Доданок – слагаемое Співпадає – совпадает |
Довільна – произвольная Зовнішнє – внешнее Повинна – должна Прирікає – обрекает Зважаючи – обращая внимание Наявність – наличие Ліворуч – по левую руку Складної – сложной Застосуємо – применяем Безсумнівно – несомненно Придатний – нужный, подходящий |
Математичні факти з попередніх розділів, які використовуються в даній лекції.
1. Кількість рідини, яка протече при ламінарній течії з швидкістю вздовж труби через перпендикулярний перетин площею s за час t буде дорівнювати .
2. Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння нормалі має вигляд , а напрямний вектор нормалі є . 2. Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння нормалі має вигляд , а напрямний вектор нормалі є .
Норма (довжина) цього вектора є . Пронормувати вектор означає знайти вектор одиничної довжини і співнаправлений з . Для цього досить вектор поділити на його довжину: . Очевидно даний вираз ми можемо переписати так: , де – кути, які утворює відповілно з вісями Ох, Оу, Oz.
3. Проекція площі S трикутника АВС на площину , як це видно з рисунка, дорівнює
, де – кут між площиною і площиною трикутника АВС. В частинному випадку, коли основа трикутника АВ ледить в площині , це слідує з того, що Цей факт носить загальний характер: – де S площа якої завгодно плоскої фігури, - її проекція на деяку площину, – кут між площинами.
10.1. Потік рідини через поверхню. Інтеграл по поверхні.
В попередній лекції ми розвязували задачу на обчислення потоку рідини через криву лінію L і виявилось, що величина потоку (пригадаємо: потік – це кількість рідини, яка протікає через щось за одиницю часу) визначається через криволінійний інтеграл по кривій L . А яким інтегралом буде обчислюватись величина потоку через деяку поверхню S? Мабуть для цього прийдеться вводити нове математичне поняття – поверхневий інтеграл. Цим ми зараз і займемось. Поставимо фізичну задачу. Нехай маємо деяку течію рідини. Говорять, що течія встановилася, якщо швидкість часток рідини, що протікають через дану точку, залежить тільки від цієї точки і не залежить від часу. Таким чином, в кожній точці M(x,y,z) області, в якій відбувається течія, заданий вектор – швидкість частки рідини в цій точці і ми можемо сказати, що нам задано векторне поле – поле швидкостей рідини. Проекції вектора на осі координат будуть функціями координат точки М(x,y,z).
Заради простоти викладу, вважатимемо густину рідини постійною і рівною, одиниці. Обчислимо кількість рідини, що протікає за одиницю часу через задану поверхню;
Розв’язок почнемо з розгляду найпростішого випадку. Нехай швидкість течії рідини у всіх точках однакова за величиною і напрямком . Тоді зрозуміло, що потік (позначимо його через К) рідини через прямокутник , розташований у площині, перпендикулярній до вектора швидкості, буде дорівнювати добутку площі прямокутника на величину швидкості: .
Ми розглядаємо нестисливу рідину, а тому зрозуміло, що скільки рідини ввійшло в зображену на рис 10.1 призму (бічні грані цієї призми вважаємо непрникливими) через прямокутник , – стільки ж її й вийшло через поверхню прямокутника ABCD який утворює з попереднім прямокутником Рис.10.1. кут . Такий же кут утворює і нормаль, проведена до ABCD з вектором швидкості . Якщо позначити через S площу прямокутника ABCD, а площу прямокутника терез , то із співвідношень при випливає, що , а це ж . Тому можна записати:
, (10.1)
де – проекція швидкості на нормаль .
Прямокутні поверхні ми розглядали винятково для наглядності. Звичайно формула (10.1) вірна не тільки для прямокутника, але і для будь-якої площадки, розташованої в площині, нормаль до якої утворить той же кут зі швидкістю .
Перейдемо тепер до загального випадку. Нехай у деякій області задане поле швидкостей рідини, обумовлене векторною функцією
Візьмемо деяку поверхню S. Підрахуємо потік рідини через цю поверхню. Для цього розіб'ємо дану поверхню довільним образом на п частин; площі одержаних ділянок позначимо ,,...,. На кожній площадці виберемо по двільній точці . Вважаючи ці площадки плоскими і припускаючи, що в межах кожної площадки швидкість рідини залишається постійною, а саме рівною швидкості в точці , можемо написати наближене значення виразу для потоку рідини
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.