Математика \ Высшая математика

Інтеграли по поверхні. Теорема і формула Стокса. Формула Остроградського-Гауса, страница 6

де S-границя області і інтегрування по S проводиться по її зовнішній стороні (-напрямні косинуси зовнішньої нормалі). Формула (10.17) називається формулою Остроградского-Гауса.

Доведення. Ідея доведення така ж як і при доведенні формули Гріна, але тут будемо потрійний інтеграл зводити до поверхневого. Візьмемо в просторі Охуz область обмежену замкнутою поверхнею S, що перетинається з всякою прямою паралельною координатним вісям не більш ніж у двох точках. Перетворимо потрійний інтеграл в поверхневий. Зробимо проекціювання поверхні на площину хОу. Для цього проведем циліндричну поверхню з твірними, які дотикаються до області і перпендикулярні до площини хОу. Ця циліндрична поверхня дотикається до області по лінії L і розбиває замкнуту поверхню на дві незамкнуті кожна з який перетинається з будь-якою прямою, паралельною вісі Оz, не більше ніж в одній точці. (Це забезпечить нам однозначність проектування на координатну площину хОу). Нехай область D є проекція поверхонь , а значить і всієї області на площину Оху, а – рівняння поверхонь . Інтегруючи спочатку по z одержимо= ==

Так как плоска область D є проекцією на площину Оху і поверхні , і поверхні, то подвійні інтеграли в правій частині слугують виразами для інтегралів , узятих по верхніх сторонах цих поверхонь. А тому

. Тому що верхня сторона і нижня сторона є зовнішніми

Рис.10.8. сторонами всієї поверхні S то (10.18)

Аналогічно доводяться ще два співвідношення

(10.19)

(10.20)

Складаючи почленно рівності (10.18), (10.19), (10.20), ми і приходимо до формули Остроградського . Теорема доведена.

Формула. Остроградского дозволяє замінити потрійний интеграл відповідним інтегралом по поверхні, яка обмежує область інтегрування і, навпаки, інтеграл по замкнутій поверхні замінити потрійним інтегралом по області обмеженою цією поверхнею.

П.5. Обчислити

через замкнуту поверхню обмежену зверху і знизу площиною .

Розв’язок. Застосуємо теорему Остроградського. Для (10.17) обчислимо .

З виду інтеграла знаходимо: ;

.Обчислимо ;

. А це значить, що .

Відповідь: 0

П.6. Обчислити криволінійний інтеграл , де - контур .

Розв’язок. Застосуємо теорему Стокса і формулу (10.10). Для цього на коло , “натягнемо” яку – небудь поверхню. Звичайно візьмемо найпростішу – круг. Поверхня буде мати вигляд: . Для застосування теореми Стокса обчислимо , де

. Тому перші дві різниці дорівнюють 0,

. Підставляючи в формулу Стокса одержимо: , де S – поверхня . Так як S паралельна площиніто і , як відомо і поверхневий інтеграл дуже легко зводиться до подвійного - де - круг , який лежить на площині . Перейдемо до полярної системи координат

, границі очевидні .

. Відповідь: .

Запитання для самоперевірки.

1. Чому дорівнює потік К рідини через поверхню S, пормаль якої утворює з вектором швидкості кут ?

2. З яких пунктів складається розв’язок задачі про знаходження величини потоку К вектора через поверхню S? Завершіть низку міркувань: 1) розбиваємо поверхню S на елементарні поверхні ; 2)...3)...4)....