|
Тут швидкість
у точці
, а
-кут між
нормаллю до поверхні S у точці
, і швидкістю
.Щоб
перетворити отриманий вираз, зауважимо, що
є
скалярний добуток вектора
на одиничний вектор
нормалі
.
Позначимо через кути,
утворені нормаллю
з осями
координат (величини цих кутів залежать, звичайно, від точки
). Одиничний вектор нормалі
Рис.
10.2 має
своїми проекціями направляючі косинуси
тобто
.
Тому , де
– значення відповідних функцій у точці
.
(10.2)
Перейшовши до границі при і за умови, що кожна площадка стягається в
точку, ми одержимо вираження для потоку рідини К:
Цю
границю запишемо у виді
(10.3)
і будемо називати інтегралом по поверхні.
У виразі (10.3) і направляючі косинуси нормалі і прекції швидкості на
координатні вісі є функціями координат точки М
(х, у, z), а тому вся дужка під інтегралом є якась функція
і
найчастіше інтеграл (10.3) подають у виді
. В
загальному випадку цьому інтегралові дають таке
Означення. Інтегралом по поверхні (або поверхневим інтегралом) називається границя інтегральної суми
=
=
(10.4)
при прямуванні до нуля діаметра кожної площадка розбивки.
Слід зауважити, що трохи нижче,
при обчислені, інтеграл (10.3) ми перетворимо в інтегрл по добутку координат,
який часто називають (за аналогією з схожим криволінійним) поверхневим
інтегралом ІІ-го типу, а інтеграл (10.4) поверхневим інтегралом
І-го типу. Фізичний зміст інтегралу (10.3), як ми бачили вище, є потік
векторного поля, а якщо замість функції швидкості взяти
функцію сили
(розглядається силове поле) , то
(10.3)
=
буде виражати силовий
потік поля через поверхню S.
Фізичний зміст інтегралу (10.4) буде залежати
від того, що виражає : якщо
густина
електричних зарядів, розташованих на поверхні S, то (10.4) буде виражати сумарний заряд на поверхні; якщо
поверхнева густина маси, розташованої на
поверхні S, то (10.4) буде
виражати масу всієї поверхні. Звідси зовсім легко одержати формулу для
обчислення площі поверхні – досить взяти
=1 і
. (10.5)
Так, як визначення
интеграла по поверхні, по суті справи, аналогічно визначенню подвійного
інтеграла то і властивості подвійних інтегралів, без усяких змін
переносяться на інтеграли по поверхні. Інтеграла І-го типу це стосується
повністю, а знак поверхневого інтеграла другого типу (аналогія з криволінійним)
буде залежати від напрямку вектора нормалі до поверхні. Якщо ми його змінимо на
протилежний, то зміниться кут між векторами з
на
, а це
призведе до зміни знаку скалярного добутку
і зміни
знаку всього інтегралу,
З фізичної точки зору зміна знака поверхневого інтеграла, (10.3) з погляду задачі про обчислення потоку рідини пояснюється так: на різних ділянках поверхні S рідина може протікати як у напрямку обраної нормалі, так в протилежному і якщо потік К позитивний, то в обраному напрямку рідини протікає більше, ніж у протилежному, а якщо негативний, то навпаки. Зрозуміло, що в реальному світі всяка поверхня має дві сторони і в подальшому ми й будемо розглядати лише двосторонні поверхні (хоча є й односторонні – знаменитий лист Мьобіуса).
При зміні напрямку нормалі на протилежний, ми від поверхневого інтегралу по одній стороні поверхні переходимо до поверхневого інтегралу по протилежній стороні, а значить можемо записати для (10.3) дуже важливу властивість
=
(10.6)
10.2. Обчислення інтегралів по поверхні
Як раніше для обчислення кратних і криволінійних інтегралів ми їх зводили до звичайних одновимірних визначених інтегралів, так і тепер спробуємо поверхневий інтеграл звести до обчислення нам уже відомих подвійних інтегралів.
|
Нехай маємо інтеграл (10.4) тобто інтеграл
І-го типу , причому S гладенька поверхня, рівняння якої має вигляд
.
Те, що поверхня гладенька означає, що
неперервні. Візьмемо
елемент площі
області D і спроектуємо його на поверхню S ( рис 10.3). Площа цієї проекції
. Проведемо нормаль
до
площадки так, щоб вона утворювала гострий кут
з
віссю Oz. Будемо вважати, що в
межах площадки напрямок
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.