Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтегралу

Лекція 6

План.

1.  Визначений інтеграл.

2.  Властивості визначеного інтегралу.

1. Визначений інтеграл

ЗАДАЧІ, ЩО ПРИВОДЯТЬ ДО ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА:

1.  Нехай на відрізку  задана безперервна функція . Назвемо криволінійною трапецією область, обмежену графіком функції , віссю Ох і ординатами х = а, х = b.

Потрібно обчислити площу цієї трапеції. Для цього розіб'ємо криволінійну трапецію на вузькі смужки, провівши ординати

.

На кожному відрізку  виберемо проміжну крапку . Площу кожної смужки можна приблизно вважати рівною площі прямокутника з основою  і висотою , тобто

.

Отже, площа всієї криволінійної трапеції приблизно дорівнює сумі площ цих прямокутників, тобто

.

Ніж дрібніше будемо розбивати відрізок , тобто чим вужчими будуть смужки, тим точніше сума площ прямокутників дасть шукану площу трапеції. Іншими словами,

,

де n – число крапок розподілу відрізка .

2.       Розглянемо іншу задачу.

Нехай крапка рухається по прямій, причому її миттєва швидкість у момент t дорівнює v(t). Знайти шлях, пройдений крапкою за проміжок часу .

Розіб'ємо проміжок часу  на n частин:

.

Якщо проміжки досить малі, то можна приблизно вважати швидкість протягом цих проміжків часу постійною. Тому шлях, пройдений за проміжок , приблизно виражається формулою

де c_i – будь-який момент часу на проміжку .

Отже, весь пройдений шлях виражається формулою

.

Ця формула вірна лише приблизно. Але чим менше будуть проміжки часу, тим точніше буде ця формула, іншими словами,

.

Таким чином, обидві задачі мають ту саму математичну схему, що складається в наступному.

Нехай на відрізку  задана функція . Розіб'ємо інтервал  на n частин крапками

.

У кожному елементарному відрізку розбивки виберемо довільним образом крапки c_i і обчислимо значення функцій у цих крапках, тобто знайдемо

.

Кожне значення функції  помножимо на довжину  відповідного відрізка. Складемо суму всіх цих добутків:

, або

.

Цю суму називають інтегральною сумою для функції  на відрізку .

Знайдемо межу цієї суми при прагненні до нуля найбільшої різниці , при цьому число відрізків розбивки необмежено зростає

.

Ця межа (якщо вона існує) називається визначеним інтегралом функції  по відрізку  і позначається :

.

Отже, визначеним інтегралом функції  по відрізку  називають межу інтегральних сум за умови, що найбільший відрізок розбивки прагне до нуля.

З задачі (1) випливає геометричний зміст визначеного інтеграла – це площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху підінтегральною функцією , знизу – віссю Ох, а з боків прямими х = а, х = b.

З задачі (2) випливає, що шлях S, пройдений крапкою за проміжок часу від t = а до t = b , дорівнює визначеному інтегралові від швидкості v(t):

.

Провівши міркування, аналогічні попереднім, можна показати, що робота перемінної сили , що діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралові від величини  сили, узятому по відрізку :

.

Маса неоднорідного стрижня на відрізку  дорівнює визначеному інтегралові від щільності γ(х):

.

2. Властивості визначеного інтегралу

1.       Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:

.

2.       Постійний множник виноситься за знак інтеграла

.

3.       .

4.       Якщо функція  інтегрується на  і , то

.

5.       «Теорема про середнє». Якщо функція  безперервна на відрізку , то існує крапка  така, що

.

6.       Оцінка інтеграла. Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції  на відрізку , , то

.