Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена

Лекція 2

 ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

План:

2.1. Збіжність функціональних рядів.

2.2. Властивості рівномірно збіжніх рядів.

2.3. Степеневі ряди.

2.4. Ряди Тейлора і Маклорена.

2.5. Стандартні розвинення елементарних функцій в степеневі ряди.

2.6. Формули Єйлера.

2.7. Застосування степеневих рядів.

2.8. Запитання для самоперевірки.

Українсько-російський словник вжитих в лекції слів, які в мовах мають різне звучання.

Певна –   определённая Відхилення – отклонение Згідно – согласно Залишок – остаток

Зручніший – удобнее Визначити – определить Похідні – производные околі – окрестности

Розвинення – разложение Ураховуючи – учитывая Зберігаючи – сохраняя

            Математичні факти з попередніх розділів, які використовуються в даній лекції.

1.Розв’язування нерівностей, у яких змінна величина знаходиться під знаком модуля

а)     це і буде відповіддю. Можна цю нерівність зводити до системи нерівностей:

б) розвязування нерівності  відрізняється від попередннього тим, що ця нерівність зводиться не до системи, а до сукупності нерівностей. Буде безглуздо написати по аналогії з а):  або  таке  перетворення нерівності є не вірним, тобто знак  там стояти не повинен. Перетин множин розв’язків кожної з нерівностей, які стоять в системі, завжди є порожня множина.  Розв’язувати таку нерівність треба так: .

2.1. Збіжність функціональних рядів

О. Функціональним називається ряд

                               (2.13)

де всі функції  визначені на певній множині, наприклад X.

            Як і для числових рядів

            Нехай в (2.13) x=x₀

О. Функціональний ряд (2.13) називається збіжним при х=х₀, якщо відповідний числовий ряд, утворений з ряду (2.13) при х=х₀, є збіжним.

            О. Функціональнийряд (2.13) називається збіжним на множині Х, якщо він збіжний

            Введемо два поняття.

            О. Рівномірним (чебишовським) відхиленням функцій

                                                                  (2.14)

і середнім відхиленням – величина

                                                                                      (2.15)

            Рівномірне відхилення можна застосувати до обмежених функцій, в разі ж збіжності відповідного інтеграла і у випадку необмежених  функцій –середнє. Замінивши в (2.15) підінтегральну функцію на її максимальне значення і оцінивши інтеграл, дістаємо

                                                                                                          (2.16)

звідки випливає, що при малих  обернене твердження не завжди  правильне,тобто  рівномірне відхилення є жорсткішою оцінкою, ніж середнє.

            О. Функціональний  ряд (2.13)  називається рівномірно збіжним на  якщо

і збіжним в середньому, якщо

                                   

            З нерівності (2.16) випливає, що рівномірно збіжний ряд є збіжним  і в середньому, обернене твердження не завжди правильне.

            Наступна теорема виражає достатню умову рівномірної збіжності ряду (2.13).

Т. (Вейерштрасса). Якщо  х всі члени ряду (2.13) задовольняють нерівність  причому ряд  збіжний, то ряд (2.13) рівномірно збіжний на

 Дов-ня.  За достатньою ознакою збіжності ряду, згідно з умовами теореми, ряд (2.13) абсолютно збігається до

Доведемо, що ця збіжність є рівномірною. Розглянемо рівномірне відхилення

Як залишок збіжного числового ряду.

П.1. Дослідити на рівномірну збіжність 

Розв’язання. Маємо  так, як числовий ряд збігається при s>1, то при  ряд рівномірно збіжний на

2.2. Властивості рівномірно збіжних рядів.

Т. 1. (неперервність суми). Сума рівномірно збіжного на  ряду, складеного з неперервних на  функцій, є неперервною на  .

§  Маємо  

В останньому співвідношенні перейдемо  до границі  при

Оскільки скінченна сума неперервних функцій неперервна, то  при  

З рівномірності збіжності ряду маємо  .

Отже . Тепер в рівності перейдемо до границі при Оскільки ліва частина від п не залежить, то

Т. 2.(про граничний перехід). Рівномірно збіжний на  ряд допускає на цьому інтервалі граничний перехід для , тобто .

Т. 3.(про диференціювання ряду). Збіжний на  ряд допускає на цьому інтервалі по членне  диференціювання за умови, що одержаний ряд буде рівномірно збіжний на , тобто .

            В теоремі суттєвим є те, що одержаний після диференціювання ряд повинен бути рівномірно збіжним. Переконаємось в цьому на прикладі.

П.2. Продиференцюємо ряд , одержимо .Початковий ряд збіжний так, як , а продиференційований взагалі розбігається.

Т. 4.(про інтегрування ряду). Рівномірно збіжний на  ряд інтегрованих функцій можна зінтегрувати на цьому інтервалі тобто для  маємо .