Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена, страница 5

2.7. Застосування степеневих рядів

Застосовуючи степеневі ряди можна:

1)  знаходити значення функцій;

2)  знаходити значення границь;

3)  знаходити наближення функцій многочленами;

4)  інтегрувати функції;

5)  розв’язувати диференціальні рівняння;

6)  розв’язувати інтегральні рівняння.

Покажемо застосування рядів на прикладах.

П.7. З точністю до 0,001 обчислити .

Роз-ня. Віднімемо від першої формули (2.29) другу  

Одержимо робочу формулу . Обчислимо при якому значенні х вираз під логарифмом дорівнює 3. . Підставивши це значення в робочу формулу одержимо =

Щоб досягти заданої точності достатньо взяти суму перших чотирьох членів. Остача ряду буде   

=. А тому .

П.8. Знайти .

Роз-ня. Маємо невизначеність типу . Розвинемо чисельник в ряд

=.  

П.9.Записати формули наближеного представлення  через многочлен для значень х близьких до 0.

Роз-ня.  Зберігаючи два-три (в залежності від потреби в точності) члени ряду основних розвинень одержимо відомі Вам зі школи формули наближених обчислень

  ;  ; .

                                        Рис.1.2                                                                                Рис.1.3.

Для представлення функцій  особливо наглядною є геометрична ілюстрація, див. рис. 1.2. та рис.1.3. Від 0 до майже  графіки функцій та   – зливаються. Самостійно переконайтеся, що така ж картина спостерігається при побудові графіків решти функцій та їх наближень.   

П.10. Знайти .

Розв’язання. Цей інтеграл не виражається через елементарні функції.

В неелементарних же маємо

П.11. Знайти частинний розв’зок рівняння 

Роз-ня. Це лінійне рівняння. Розв’язок  будемо шукати у вигляді ряду

                                                                (*)

похідна від якого буде  

Підставивши початкові умови в  дістаємо Підставимо тепер  і  в рівняння. Маємо

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях  в обох частинах останньої рівності

Знайдемо відповідні коефіцієнти:   Тепер підставимо їх в  рівність  (*). Використовуючи (2.22), остаточно матимемо{винесемо за дужку , в дужках додамо та віднімемо до виразу  доданки , підганяючи суму під }=

П.12. Знайти розв’язок рівняння, розвязок  представити у вигляді многочлена другого степеня.

Розв.  Шукану функцію представимо через ряд

Так, як  за умовою, то з умови ; 

Остаточно Відп.

Запитання для самоперевірки.

1. Що називається функціональним рядом?
2. Що називається інтервалом збіжності функціонального ряду?
3. Що ми називаємо частинною сумою ф. ряду? Остачею ф. ряду?
4. Сформулюйте  означення рівномірної збіжності ф. ряду.
5. Сформулюйте достатню умову збіжності ф. ряду – теорему Вейерштрасса.
6.  Сформулюйте  властивості рівномірно збіжних рядів (4 теореми).
7. Що називається степеневим рядом?
8. Сформулюйте теорему Абеля.
9. Як знайти інтервал збіжності степеневого ряду?
10. Який ряд називається рядом Тейлора? Маклорена?
11. Запишіть розвинення в ряд Маклорена основних елементарних функцій.
12. Де і як застосовуються функціональні ряди?
13. Запишіть формули Ейлера.

Розвяжіть самостійно.

1.Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його збіжність на кінцях інтервалу.

1.1. ; Вілп. .1.2. ;Відп.1.3. ; Відп..

2. Розвинути в ряд за  степенями х вказані функції та знайти область їх збіжності.

2.1.  Відп. , .

2.2. Відп. .

3. Обчислити з точністю до 0,001, застосовуючи ряди.

3.1.Відп. 0,7468.      3.2.  Відп.  2,087.