. Це диференційне рівняння з
відокремлюючими змінними, яке легко інтегрується. При інтегруванні два рази,
з’явиться дві довільні сталі, значення яких можна знайти лише маючи початкові
умови. Такі умови легко створити самому, підставивши яке-небудь значення
(наприклад х=0) в (*) і в (**).
Ми одержимо . Розв’язуємо рівняння.
. Обчислюємо С1
. Інтеграл обчислюємо частинами
Обчислюємо
.
. Таким чином
.
Сума ряду даного за умовою буде . Це і
є відповідь.
Зауваження. Початковий ряд при х=1 збігається однак знайдена сума при х=1 невизначена. Це повязано з тим, що поблизу кінців інтервалу збіжності – ряд збігається нерівномірно. А при диференціюванні нерівномірно збіжного ряду в деяких точках (як правило на кінцях інтервалу) втрачається його збіжність.
П.5. Знайти суму ряду
Розв. Область збіжності цього ряду .
Цей ряд збігається рівномірно скрізь в області збіжності крім точок, які лежать
поблизу кікців інтервалу збіжності. Придивимось до ряду
,
якщо ми його проінтегруємо, по одному множнику у кожному доданку скоротиться і
одержимо простіший ряд. Нехай
тоді
. Виконавши інтегрування, одержимо
. Очевидно, що ще одне
інтегрування ліву частину останьої рівності перетворить в звичайну нескінченно
спадну геометричну прогресію, суму якої знайти дуже легко.
. Це найпростіше інтегральне
рівняння (невідома функція знаходиться під знаком інтеграла). Розвязується воно
застосуванням до обох частин операції оберненої до інтегрування –
диференціювання.
. Виконаємо операцію
диференціювання
. Або після спрощення
. Застосовуючи повторно диференціювання,
одержимо
. Це і є відповідь.
П.6. Використовуючи стандартні розвинення в ряди, розкласти за степенями х функцію
.
Розв. Представимо функцію у
вигляді суми двох функцій. Таке представлення можливе бо знаменник дробу можна
записати у вигляді добутку двох двочленів
і потім, застосувавши метод
невизначених коефіцієнтів прийдемо до суми.
перегрупуємо
. Для знаходження невизначених
коефіцієнтів А і В одержуємо систему
. Таким чином
. Перетворимо ці доданки так, щоб можна
було застосувати до кожного з них формулу суми нескінченно спадної геометричної
прогресії.
=
={область збіжності першого ряду
, другого
.
Зрозуміло, що область збіжності суми буде
}=
==
=Це і є відповідь.
2.6. Формули Ейлера
Додамо дві рівності та
.
(2.31)
Якщо ж ми ці дві рівності віднімемо, то одержимо розвинення
в степеневий ряд .
(2.32)
Для подальшого розуміння матеріалу пригадаємо деякі елементи
теорії функцій комплексної змінної, а саме: далі
дуже легко знайти яку завгодно степінь уявної одиниці – треба її показник
розділити на 4 і якщо в остачі буде 0, то величина степеня буде дорівнювати 1;
якщо остача 1, то величина степеня буде і; якщо два, то буде –1; якщо три, то
буде –і. Розпишемо ряди
при
.
Зробимо в обох виразах очевидні перегрупування і винесемо за дужки і.
(2.33)
(2.34)
Додавши (2.33) до (2.34) одержимо (2.35)
Віднявши (2.34) від (2.33) одержимо (2.36)
Одержані формули (2.33)–(2.36) називаються формулами Ейлера. Вони виражають тригонометричні функції через показникові і навпаки.
Цікавий зв’язок мають гіперболічні функції з
тригонометричними. Він проявиться, якщо ми в (2.31) та в (2.32) зробимо заміну .
, тобто
(2.37)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.