Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена, страница 3

У загальному випадку !

                      (2.20)

Ряд (2.20) називається рядом Маклорена для  Якщо  або деякі її похідні не визначени при  то на основі ряду (2.18) знаходимо

                        (2.21)

Ряд (2.21) називається рядом Тейлора для .

Справедлива така  теорема.

Т. Ряд Тейлора (Маклорена) для  збігається саме до , якщо існує  таке, що

у деякому околі точки

Зображення функції  у вигляді (2.20) чи (2.21) називається розвиненням  у відповідний ряд (за відповідними стпенями).

2.5. Стандартні розвинення елементарних функцій в степеневі ряди

Виконаємо розвинення деяких елементарних функцій у ряди Маклорена.

1.  Нехай . Маємо, , ,…,,…, а тому

…=

Згідно з (2.20) =                                        (2, 22)

Знайдемо інтервал збіжності цього ряду. За ознакою Даламбера =

. Яке б не було х остання рівність завжди виконується, а тому .

2.  Нехай . Тоді   , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (2.20) одержимо =                                              (2.23)

3.  Нехай . Тоді   , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (2.20) одержимо =                                          (2.24)

4.  Нехай маємо . Послідовно  знайдемо похідні

                                                              

                                               

                                     

………………………………….                                     …………………………

            

……………………………………………….                  …………………………………….

Ураховуючи, що   , після підстановки  знайдених коефіцієнтів в (2.20)  одержимо         (2.25)

Ряд (2.25) називається біномінальним. Дослідимо його на збіжність. Знаходимо

,          Отже

  звідки

З ряду (2.25) при різних значеннях , застосовуючи диференціювання та інтегрування, можна одержати розвинення багатьох функцій в ряд не застосовуючи, як це було вище, громіздкого обчислення коефіцієнтів. Наприклад при  одержимо

              (2.26)

Це випливає з (2.25), хоча його можна дістати й беспосередньо як суму відповідної прогресії.

Якщо замінимо в (2.26) х на –х, то одержимо

                                                       (2.27)

Якщо в (2.26 ) зробимо підстановку , то 

                                                   (2.28)

Інтегруючи (2.26) і (2,27) в межах від 0 до х одержимо.

              і                          (2.29)

Обидва ці ряди збігаються при .

            Розглянемо біноміальний ряд при , тобто запишемо розвинення в ряд функції , а потім рівність проінтегруємо  в межах від 0 до t, де  і одержимо розвинення в степеневий ряд функції .

 

Після очевидних спрощень одержимо

.Проінтегрувавши матимемо

                                                                     (2.30)

Якщо в (2.26)  замість х підставимо  і проінтегруємо одержану рівність то одержимо

                                                                      (2.30а)

П.4. Обчислити суму ряду

Розв. Питання про збіжність цього ряду вирішується за допомогою ознаки Даламбера і. Виносячи х за дужки, одержимо добуток . Присутність однакових чисел в знаменнику дробів і в показнику степеня чисельника  штовхоє нас на думку, що похідна від ряду, що стоїть в дужках, буде простішою ніж сам ряд. Позначимо    (*) , тоді взявши похідну від обох частин цієї рівності одеримо  (**). Очевидно, що коли візьмемо ще раз похідну від обох частин, то ліва частина рівності перетвориться в звичайну нескінченно спадну геометричну прогресію, суму якої легко знайти .