Функціональні ряди. Збіжність функціональних рядів. Властивості рівномірно збіжніх рядів. Степеневі ряди. Ряди Тейлора і Маклорена, страница 2

2.3. Степеневі ряди

О. Степеневим рядом називають ряд (2. 17)

Ряд (2.17) називають рядом за степенями х. Тут

О. Степеневим також називають ряд (2. 18)

Ряди (2.18) називають рядом за степенями . Тут також .

Виконавши в (2.18) заміну дістанемо (2.17). Оскільки ряд (2.17) зручніший за формою, ніж ряд (2.18), то коли це можливо, користуватимемося рядом (2.17). Степеневий ряд, очевидно, є окремим випадком функціонального ряду.

Питання збіжності ряду (2.17) вирішується теоремою Абеля.

Т.а) Якщо степеневий ряд (2.17) збіжний при то він абсолютно збіжний і при таких, що

б) Якщо степенний ряд (2.17) розбіжний при , то він розжбіжний і при таких, що .

Дов-ня. а) оскільки ряд збіжний при , то збіжним є числовий ряд . Звідси (це є необхідна умова збіжності) і існує таке , що

для всіх .

Тут скористалися обмеженістю послідовності, яка має границю.

Запишемо таку рівність: (2.19)

Тоді для членів останнього ряду матимемоРяд

збігається як сума геометричної прогресії зі знамеником Беручи до уваги те, що і рівність (2.19), дістаємо доводжуване твердження теореми.

Ураховуючи теорему Абеля, структуру області збіжності (2.17) можна зобразити так, як показано на рис. 1.1. Перебираючи значення між і , зближуючи і , маємо випадок:

Рис.1.1. існує таке число , що ряд збіжний при і розбіжним при . Це число R називають радіусом збіжності ряду, а з самого визначення радіуса збіжності маємо інтервал збіжності .

Для того щоб знайти радіус збіжності, або зразу інтервал збіжності, застосовують вивчені раніше (лекція 1) достатні умови збіжності числових рядів:

Даламбера , тобто .

Радикальний Коші , тобто .

Як відомо, і ознака Даламбера і ознака Коші вирішують питання про збіжність (розбіжність) у випадку строгих нерівностей < (>), у випадку = питання про збіжність ряду залишається відкритим. Тому, щоб з’ясувати питання про збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто при x = –R i x = R, ці значення підставляють в функціональний ряд і досліджують на збіжність числові ряди.

П.3. Знайти інтервал збіжності ряду .

Роз-ня. D: .

Далі , або . Дослідимо збіжність на кінцях інтервалу.

При маємо числовий ряд . Перевіримо, чи виконується для нього необхідна ознака збіжності, тобто чи . Для цього застосуємо формулу Стерлінга , яка застосовується для великих n.

Ознака виконується , ряд може збігатись. За ознакою Даламбера маємо і ми нічого не можемо сказати про збіжність ряду, тобто ознака Даламбера для цього ряду не працює. Ознака Коші теж (перевірте).

При маємо знакопереміжний числовий ряд . Перевіримо, чи виконуються для нього умови теореми Лейбніца. Перша умова

Виконується. Друга після скорочень має вид . Послідовність зправа прямує до е , залишаючись весь час < e, а тому друга умова також виконана і при ряд збігається. Відповідь: .