Замедляющие системы (основные свойства, характеристики, теоретические и экспериментальные методы исследования замедляющих систем): Учебное пособие, страница 9

          В области II фаза поля в пределах одной ячейки предполагается неизменной. То есть в этой области имеются только стоячие волны. Распределение составляющих поля в области II внутри каждой ячейки можно представить в виде ряда, однако на практике можно ограничиться лишь первым его членом

,

, где

, В – некоторая постоянная, определяемая также из условия непрерывности E_z. Для сшивания полей на границе областей необходимо знать истинное распределение E_z (z) по линии .

          Достаточно точно это распределение аппроксимируется квазистатическим приближением вследствие малости размера d по сравнению с длиной волны

,

где E_z0 – напряженность поля в центре зазора, координата  отсчитывается от середины зазора между диафрагмами. За пределами этого интервала в пределах периода . Усреднение и по периоду системы позволяет определить амплитуды гармоник

.

          Усреднение и позволяет выразить постоянную В также через

.

          Дисперсионное уравнение получается приравниванием усредненного при  магнитного поля  магнитному полю . Входящая в оба эти соотношения величина E_z0 при этом сокращается, а уравнение принимает следующий вид:

          (4.16)

Следует отметить, что решение трансцендентного уравнения (4.16) требует большой вычислительной работы.

          На рис. 4.5. приведены рассчитанные по (4.16) дисперсионные кривые для системы, размеры которой характерны для линейного ускорителя заряженных частиц.

Следует отметить узкую полосу частот, в которой коэффициент замедления нулевой гармоники n > 1, а также малую его величину.

4.4.  Замедляющая система типа цепочки индуктивно  связанных     резонаторов

Замедляющие системы типа цепочек связанных резонаторов  (ЦСР) обычно используются в ЛБВ большой мощности. Среди различных ЗС типа ЦСР, отличающихся формой резонаторов, способом связи между ними, наиболее распространены системы с ячейками в виде тороидальных резонаторов с одной щелью связи, расположенной в периферийной, индуктивной части резонатора, и углом поворота щелей в соседних ячейках, равным 180º. Сложность расчета таких систем путем строгого решения электродинамической задачи обусловлена ее трехмерностью из-за наличия щелей связи. Имеются программы численного расчета таких систем, однако они не обеспечивают достаточной точности и часто требуют в процессе их использования дополнительных экспериментальных данных.

Рассмотрим методику расчета таких систем, основанную на модели эквивалентных схем и на определении параметров элементов эквивалентной схемы по результатам численного решения электродинамической задачи.

Резонаторная замедляющая система с обозначением размеров показана на рис. 4.6.

Вначале проведем анализ на основе упрощенной эквивалентной схемы, в которой ячейка системы в виде тороидального резонатора и щель связи представлены контурами с сосредоточенными элементами (рис. 4.7).

В схеме не учтен поворот щелей связи в соседних резонаторах. Индекс «1» на обозначениях элементов относится к резонатору, а индекс «2» – к щели.

          Для построения дисперсионных характеристик используем уравнение (3.11), в котором  определяется из уравнения (4.3). Преобразуем (4.3) применительно к схеме рис. 4.7, определив Z иY:

 , (4.17)

и подставив их в (3.11)

                               (4.18)

          Определим вначале граничные частоты (длины волн).

Граничная частота ω₀ соответствует , и из (4.18) следует

          Вторая граничная частота , при которой , определяется также из (4.18)

 или после преобразований

  .                                           (4.19)

Из (4.19) следует, что , если , то есть резонансная длина волны резонатора больше резонансной длины волны щели, что имеет место в большинстве реальных конструкций. В результате получаются дисперсионные характеристики, показанные на рис. 4.8. Поскольку , то основная гармоника имеет нормальную и положительную дисперсию. На этом же рисунке показаны также дисперсионные характеристики во второй полосе пропускания, обусловленные резонансом щели связи.

Для расширения  основной полосы пропускания резонаторной ЗС щели связи в смежных резонаторах сдвигают на 180˚. При этом эквивалентная схема существенно усложняется. Такая уточненная эквивалентная схема периода системы показана на рис. 4.9. Между контурами, эквивалентными резонатору и щелям связи, дополнительно включены индуктивности, связанные с токами, которые перехватываются щелями. Учтено также противонаправленное расположение щелей в соседних резонаторах. Параметр ;  θ – угловой раскрыв регулярной части щели.

Схема может быть преобразована к виду, показанному на рис. 4.10,а, и представлена в обобщенном виде (рис. 4.10,б), где используются следующие обозначения:

где  -   характеристическое сопротивление резонатора,  – характеристическое сопротивление щели, λ₁ , λ₂ – резонансные длины волн резонатора и щели на низших видах колебаний, λ – текущая длина волны, с = 3·10¹⁰ см/с – скорость света в вакууме.

Все параметры эквивалентной схемы определяются в результате численного решения электродинамической задачи отдельно для резонатора и для щели.

Фазовый сдвиг на период системы определяется через диагональные элементы матрицы передачи эквивалентного четырехполюсника:

,

   .                        (4.20)

На рис. 4.11 показаны дисперсионные характеристики  ЗС типа ЦСР с противонапра-вленными щелями связи. Сле-дует отметить, что основная   гармоника имеет аномальную и отрицательную     дисперсию, а га-рмоника    р = –1 – положительную. В данном случае для нумерации гармоник иногда используют индекс р΄=р+1. При такой нумерации основной является гармоника р΄ = 0, име-ющая положительную дисперсию. В коротковолновой части показаны также щелевые дисперсионные характеристики. С целью расширения полосы пропускания ЗС увеличивают угол раскрыва щели связи; при этом основная и щелевая полосы пропускания могут перекрываться.