НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных
Дисциплина «Теория и обработка сигналов»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
Z-преобразование и дискретно – временное преобразование Фурье
Группа: АО-41
Вариант: 9 Преподаватель:
Студент: Блохин А.А. доц. Щетинин Ю.И.
2008
Цель работы: изучение Z – преобразования и дискретно – временного преобразования Фурье (ДВПФ), их вычисления в среде Matlab.
Выполнение работы:
1.Z–преобразование и дискретно – временное преобразование Фурье.
Z-преобразование играет важную роль при анализе и проектировании дискретных систем. Так, например, главная характеристика любой цифровой системы - передаточная функция есть отношение Z-преобразований выходного и входного сигнала, также Z-преобразование эффективно используется для решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Каузальному сигналу , т.е. определённому для
, Z-преобразование
ставит в соответствие функцию комплексной переменной
:
. (1)
Формула (1) есть одностороннее прямое Z-преобразование.
Переход от Z-преобразования
к сигналу
во
временной области выполняется с помощью обратного (инверсного) Z-преобразования:
. (2)
Здесь интегрирование выполняется по
контуру , охватывающему все особые точки
(полюса)
. Наряду с прямым вычислением
контурного интеграла для нахождения обратного Z-преобразования
используются также другие способы: разложение Z-преобразования
в степенной ряд и использование разложения Z-преобразования
на простые дроби.
Таким образом,
.
Если рассматривать на единичной окружности
(принадлежащей области сходимости Z-преобразования)
в плоскости
, где
,
то формулы прямого (1) и инверсного (2) Z-преобразований
трансформируются в пару выражений ДВПФ:
, (3)
. (4)
Формула (3) – прямое ДВПФ, комплексная
функция действительной переменной . Здесь
дискретному сигналу
ставится в соответствие
непрерывная функция
.
Формула (4) – обратное ДВПФ. Сигнал представляется в виде непрерывной
суммы комплексных гармоник с бесконечно малыми амплитудами, пропорциональными
.
Таким образом, ДВПФ представляет собой частный случай Z-преобразования на единичной окружности комплексной z-плоскости.
2. Поиск Z–преобразования сигналов
а) ,
б) ,
в) .
а) Z-преобразование сигнала единичного
импульса:
Область сходимости: вся z-плоскость.
б) Z-преобразование
единичной импульсной последовательности:
Сумма
бесконечно убывающей геометрической прогрессии (знаменатель )
.
.
Полюс
- точка
.
Область
сходимости: - внешность окружности единичного
радиуса.
в) Z-преобразование
дискретного косинуса :
По формуле
Эйлера:
Проводя
аналогичные рассуждения можно получить, что если (
), то Z-преобразование:
Согласно
свойству линейности Z-преобразования: ,
тогда
Область
сходимости: - внешность окружности единичного
радиуса.
Комментарий: Как видно из расчётов, Z-преобразование единичного импульса есть
точка на z-плоскости: ,
т.к. функция
не зависит от комплексной переменной
, то совершенно очевидно, что
областью сходимости (область, где Z-преобразование
сходится) будет являться вся z-плоскость. Для единичной импульсной
последовательности и дискретного косинуса, очевидно, что степенные ряды будут
сходиться (а, следовательно, и Z-преобразование будет существовать)
только в том случае, если
, т.е. областью
сходимости для них будет являться внешность окружности единичного радиуса.
Таким образом, можно сделать вывод, что Z-преобразование
сигнала необходимо рассматривать только вместе с его областью сходимости.
3. Поиск Z-преобразования сигналов с помощью функции ztrans().
а) ,
б) ,
в) .
- вычисляет Z–преобразование символьной функции
.
а) Z-преобразование
последовательности :
syms a w n
X=ztrans(a.^n*cos(w*n))
X =(z/a-cos(w))*z/a/(z^2/a^2-2*z/a*cos(w)+1)
б) Z-преобразование
последовательности :
syms n
y=ztrans(n.^2*exp(2*n))
y =z*exp(2)*(z+exp(2))/(z-exp(2))^3
в) Z-преобразование
последовательности :
syms n
y= ztrans(cos(n).^2)
y=(z^2+z-3*z*cos(1)^2+cos(1)^2)*z/(z^3+z^2-4*z^2*cos(1)^2-z+4*z*cos(1)^2-1)
Комментарий: Matlabявляется мощным инструментом для вычисления Z-преобразований.
4. Определение сигналов во временной области по их Z-преобразованию с использованием функции iztrans().
а)
б)
- вычисляет функцию
из Z–преобразования этой функции.
а) Сигнал, имеющий Z-преобразование :
syms z
y= iztrans(z*(z+1)/(z-1).^3)
y =n^2
б) Сигнал, имеющий Z-преобразование:
syms z
y= iztrans((z.^2-0.2*z-0.8)/(z.^2-0.3*z-0.1))
ans =8*charfcn[0](n)-36/7*(-1/5)^n-13/7*(1/2)^n
charfcn[0] – единичный импульс, где ненулевое значение только в точке равной нулю.
Комментарий: Средства Matlab позволяют также получить обратное Z-преобразование, т.е. вид сигнала во временной области.
5. Обратное Z-преобразование разложением на простейшие дроби.
Z-преобразование имеет вид: .
Функция
выполняет разложение на простые
дроби рациональной Z-функции с вектором коэффициентов
полинома числителя num и вектора коэффициентов полинома
знаменателя den. Результат функции: r – вектор вычетов, p – вектор полюсов, k – вектор коэффициентов целой части
разложения.
num = [0,1,0.8];
den = [1,-0.3,-0.1];
[r,p,k] = residuez(num,den)
r = 3.7143 p = 0.5000 k = -8
4.2857 -0.2000
Полученному результату отвечает разложение на простые дроби вида
Поскольку
, то
и
, а т.к.
,
то
.
Таким
образом, обратное Z-преобразование: .
Комментарий: Функция комплексной переменной очень часто имеет вид рациональной
функции вида:
. В данном случае порядок
многочлена числителя не равен порядку многочлена знаменателя (
,
), т.е.
представляет
собой правильную дробь. Каждый член разложения на простейшие дроби вида
даёт во временной области
составляющую
, а постоянная составляющая
-
.
Воспользовавшись свойством линейности Z-преобразования,
получается искомая последовательность. Метод разложения на простые дроби по
сравнению с непосредственным вычислением контурного интеграла чаще всего
оказывается более удобным и эффективным способом для вычисления обратного Z-преобразования от
, представляющей собой рациональную
дробь.
Линейное
разностное уравнение имеет вид:
Беря Z-преобразование от уравнения, с учётом
свойства временного сдвига: получается:
Z-преобразование входного сигнала:
Решение в Z-области (с учётом начальных условий ):
Для вычисления
обратного Z-преобразования от применяется метод разложения на
простые дроби.
Воспользуемся функцией residuez:
num = [1,0,0];
den = [1,-0.1,-0.06];
[r,p,k] = residuez(num,den)
r =
0.6000
0.4000
p =
0.3000
-0.2000
k =[]
Разложение на простые дроби имеет вид:
Обратные Z-преобразования:
Решение уравнения во временной области имеет вид:
Комментарий: Как видно из примера, одной из областей применения Z-преобразования на практике является решение линейных разностных уравнений. При этом алгоритмом решения будет являться:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.