Z-преобразование и дискретно-временное преобразование Фурье. Вариант 9, страница 2

1) взятие Z-преобразования от уравнения ;

2) нахождение решения в z-области ;

3) вычисление обратного Z-преобразования .

7.        Вычисление ДВПФ сигнала .

ДВПФ сигнала имеет вид:  

Комментарий:  Как видно дискретному сигналу  в соответствие ставится непрерывная функция . Сигнал представляется в виде суммы комплексных гармоник с амплитудами равными значениям дискретного сигнала. Т.о. можно сделать вывод, что ДВПФ - это ряд Фурье по переменной , а коэффициентами этого ряда являются значения дискретного сигнала.

8.        Вычисление ДВПФ сигналов с помощью средств Matlab:

а) ,

б)

для значения   (значение частоты). Графики амплитудного и фазового спектров этих сигналов.

%Функция вычисляет значения DTFT от вектора x,

%w - вектор угловых частот,

%M - значение частоты.

%Когда размер вектора x  меньше  размера вектора частот w,

%x дополняется нулевыми значениями.

function [X,w] = DTFT(x,M)

N = max(M,length(x));

%Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)));

%Вычисление  fft

X = fft(x,N);

%Вектор  частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi);

%Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

а) ДВПФсигнала:

n = 0:1:6;

x = exp(-0.5*n);

[X,w] = DTFT(x,64);

subplot(2,1,1)

plot(w,abs(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Амплитудный спектр сигнала {\itx} = {exp}^{-0.5*{\itn}} для   n =',  num2str(N),

' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

subplot(2,1,2)

plot(w,angle(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Фазовый спектр сигнала  {\itx} = {exp}^{-0.5*{\itn}}  для n =',  num2str(N),

'   отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

Рис.1. Амплитудный и фазовый спектры сигнала , при

Рис.2. Амплитудный и фазовый спектры сигнала , при

Комментарий:     В данном пункте можно увидеть, что так же, как и для ряда Фурье, с увеличением дискретных значений сигнала (значений коэффициентов ряда) модуль  будет сходиться к модулю предела . При  видны колебания в амплитудном спектре, но уже при  увеличении  до  амплитудный спектр сходится к модулю предела  и представляет собой гладкую линию без пульсаций. ДВПФ является периодической функцией с периодом , поэтому достаточным было отобразить фазовый и амплитудный спектры в интервале . Как видно из графиков, амплитудный спектр ДВПФ – чётная функция (график симметричен относительно оси ординат), а фазовый спектр – нечётная функция (график симметричен относительно начала координат).  - дискретная функция,  - непрерывная функция.

б) ДВПФ сигнала :

n=1:9;

x(n)=1;

[X,w]=DTFT(x,64);

t=-31:1:32;

subplot(2,1,1)

stem(t,abs(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Амплитудный спектр сигнала  x=1   для    n =',num2str(N),' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

subplot(2,1,2)

stem(t,angle(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Фазовый спектр сигнала   x=1    для n =',num2str(N),'   отсчетов']),


xlabel('w, рад/сек')

Рис.3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

Комментарий:  На основании полученного графика амплитудного спектра  дискретного прямоугольного импульса можно сделать вывод, что ДВПФ этого сигнала представляет собой  функцию (для непрерывного прямоугольного импульса преобразование Фурье имеет аналогичный вид, с единственным отличием: график спектральной плотности – функция непериодическая).

  1. Получение частотной характеристики дискретной системы с уравнением .

Нахождение частотной характеристики  инверсной системы.

:

АЧХ систем. Фильтрация прямоугольного импульса вначале системой , а затем её  выход - системой .

Беря ДВПФ от уравнения, с учётом свойства линейности:

, и временного сдвига: , получается: ,

Таким образом, частотная характеристика данной дискретной системы имеет вид:

.

Частотная характеристика инверсной системы  такой, что последовательное соединение её с первой имеет единичную частотную характеристику, имеет вид:

.

 - вычисляет частотную характеристику дискретной системы с передаточной функцией .

а) АЧХ системы с частотной характеристикой :

num = [1];

den = [1,-0.5];

freqz(num,den)

subplot(211)

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title('Амплитудный спектр системы')

subplot(212)

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title('Фазовый спектр системы')

Рис.4. Амплитудный и фазовый спектры системы с частотной характеристикой

б) АЧХ системы с частотной характеристикой :

num = [1,-0.5];

den = [1];

freqz(num,den)

subplot(211)

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title('Амплитудный спектр системы')

subplot(212)

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title('Фазовый спектр системы')

Рис.5. Амплитудный и фазовый спектры системы с частотной характеристикой

 - вычисляет выходной сигнал  при прохождении произвольного входного сигнала  через дискретную систему с передаточной функцией .

num = [1];

den = [1,-0.5];

n = 0:20;