Информатика и выч. техника \ Теория и обработка сигналов

Z-преобразование и дискретно-временное преобразование Фурье. Вариант 9, страница 2

1) взятие Z-преобразования от уравнения ;

2) нахождение решения в z-области ;

3) вычисление обратного Z-преобразования .

7. Вычисление ДВПФ сигнала .

ДВПФ сигнала имеет вид:

Комментарий: Как видно дискретному сигналу в соответствие ставится непрерывная функция . Сигнал представляется в виде суммы комплексных гармоник с амплитудами равными значениям дискретного сигнала. Т.о. можно сделать вывод, что ДВПФ - это ряд Фурье по переменной , а коэффициентами этого ряда являются значения дискретного сигнала.

8. Вычисление ДВПФ сигналов с помощью средств Matlab:

а) ,

б)

для значения (значение частоты). Графики амплитудного и фазового спектров этих сигналов.

%Функция вычисляет значения DTFT от вектора x,

%w - вектор угловых частот,

%M - значение частоты.

%Когда размер вектора x меньше размера вектора частот w,

%x дополняется нулевыми значениями.

function [X,w] = DTFT(x,M)

N = max(M,length(x));

%Приведение FFT к размеру 2^m

N = 2^(ceil(log(N)/log(2)));

%Вычисление fft

X = fft(x,N);

%Вектор частот

w = 2*pi*( (0:(N-1))/N );

w = w - 2*pi*(w>=pi);

%Сдвиг FFT к интервалу от -pi до +pi

X = fftshift(X);

w = fftshift(w);

а) ДВПФсигнала:

n = 0:1:6;

x = exp(-0.5*n);

[X,w] = DTFT(x,64);

subplot(2,1,1)

plot(w,abs(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Амплитудный спектр сигнала {\itx} = {exp}^{-0.5*{\itn}} для n =', num2str(N),

' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

subplot(2,1,2)

plot(w,angle(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Фазовый спектр сигнала {\itx} = {exp}^{-0.5*{\itn}} для n =', num2str(N),

' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

Рис.1. Амплитудный и фазовый спектры сигнала , при

Рис.2. Амплитудный и фазовый спектры сигнала , при

Комментарий: В данном пункте можно увидеть, что так же, как и для ряда Фурье, с увеличением дискретных значений сигнала (значений коэффициентов ряда) модуль будет сходиться к модулю предела . При видны колебания в амплитудном спектре, но уже при увеличении до амплитудный спектр сходится к модулю предела и представляет собой гладкую линию без пульсаций. ДВПФ является периодической функцией с периодом , поэтому достаточным было отобразить фазовый и амплитудный спектры в интервале . Как видно из графиков, амплитудный спектр ДВПФ – чётная функция (график симметричен относительно оси ординат), а фазовый спектр – нечётная функция (график симметричен относительно начала координат). - дискретная функция, - непрерывная функция.

б) ДВПФ сигнала :

n=1:9;

x(n)=1;

[X,w]=DTFT(x,64);

t=-31:1:32;

subplot(2,1,1)

stem(t,abs(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Амплитудный спектр сигнала x=1 для n =',num2str(N),' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

subplot(2,1,2)

stem(t,angle(X)),grid

set(gca,'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

title(['Фазовый спектр сигнала x=1 для n =',num2str(N),' отсчетов']),

xlabel('w, рад/сек')

Рис.3. Амплитудный и фазовый спектры сигнала

Комментарий: На основании полученного графика амплитудного спектра дискретного прямоугольного импульса можно сделать вывод, что ДВПФ этого сигнала представляет собой функцию (для непрерывного прямоугольного импульса преобразование Фурье имеет аналогичный вид, с единственным отличием: график спектральной плотности – функция непериодическая).